円周率の平方根の意味

質問

正規分布を扱うときにでてくる積分∫[-∞,∞]exp(-t^2)dtが√πになることは二重積分を使って計算すればわかるのですが、なぜ円周率が、しかもその平方根の形ででてくるのでしょうか？何か幾何学的な関連性があるのでしょうか？

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

> 二重積分を使って計算

をなさったんなら：

　ガウス関数の著しい特徴の一つが、
　　exp(-x^2) exp(-y^2) = exp(-(x^2+y^2))
とやると、(x,y)平面に描いた等高線がすべて円になるということです。 つまり右辺は極座標(r,θ)で見ればθに依らない。というわけで

( ∫[-∞,∞] exp(-t^2)dt )^2
= lim[R→∞]∫∫[x^2+y^2＜R] exp(-(x^2+y^2))dxdy
= lim[R→∞]∫[0,2π]∫[0,R] r exp(-r^2)drdθ
ここで「θに依らない」が効いて
= lim[R→∞](∫[0,2π]dθ)(∫[0,R] r exp(-r^2)dr)
= 2π lim[R→∞]∫[0,R] r exp(-r^2)dr

円周率が出て来るのは、半径rに対する円周の長さですね。

お礼

ありがとうございました。

補足

確かにそうなのですが、正規分布という円とは関係ないようにみえるものが円と結びついていることに深い理由があるのではないかというのが質問の趣旨です。

回答No.3

stomachman

ANo.2へのコメントについて。

　　exp(-x^2) exp(-y^2) = exp(-(x^2+y^2))
こそがその「深い理由」ですよ。「f(x)f(y)の等高線が円になるもの」つまり、微分方程式
　　 (∂/∂θ)(f(r cosθ)f(r sinθ)) = 0
を満たすもの、とだけ求めると、この式は簡単な計算で
　　df(x)/dx = K xf(x)
と書き換えられ、
　　f(x) = exp((K/2)(x^2))
が得られます。だから「f(x)f(y)の等高線が円になる」というのはこの関数に特有の性質なんです。

お礼

なるほど、被積分関数に特有の性質なんですね。
ありがとうございましｔ。

回答No.1

Biyoooooon

半径１の円とある正方形の面積が等しいとき、その正方形の１辺の長さは√πになると思います。
・・・だから何だって話ですよね・・・。私にはこれが限界です。

お礼

ありがとうございました。