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幾何

高校の入試問題らしいのですが、解けません。 小さな円の直径を1とする時の正方形の一辺の長さはいくらかという問題です。 お願いします。

質問者が選んだベストアンサー

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  • info22_
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回答No.8

#1,#7です。 A#7の説明図を添付します。 A#2の回答とあわせてご覧下さい。 ポイントは 直角△形AOBと直角△GOBについて3平方の定理を適用すること にあります。  AO^2+BO^2=AB^2  GO^2+BO^2=GB^2 ここで AB=R1+R2, BO=R1, AO=2R1-R2, GO=2R1-2R2-R3, GB=R1+R3, R3=1/2, 正方形の一辺a=4R1 解けば a=15, R1=15/4, R2=5/2

rain_tall
質問者

お礼

図まで挿入して下さりありがとうございます。回答にも画像添付できるようになったんですね。 ありがとうございました。

rain_tall
質問者

補足

皆様へ。 ご回答ありがとうございました。ベストアンサーがひとつしか選択できないので、今回は図解のあるものにしますが、その他の回答も丁寧に説明して下さりとてもわかり易かったです。 ありがとうございました。

その他の回答 (7)

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.7

#1です。 A#1の訂正です。 >小さな円の直径を1とする時 とありますので 一番小さい円の半径R3は  R3=1/2 でした。 この部分を訂正する必要があります。 以下のように訂正願います。 >大きい円の半径から順にR1,R2,R3、正方形の一辺の長さをaとすると > a=4R1 ...(1), R3=1 ...(2) ← × 正: a=4R1 ...(1), R3=1/2 ...(2) 半径R2の上の円の中心をA、半径R3の小円の中心をG、半径R1の左の大円の中心をB、 右の大円の中心をD、半径R2の下の円の中心をC、正方形の中心をOとすると AB=R1+R2,AO=2R1-R2,BO=R1,GB=R1+R3,GO=2R1-2R2-R3,BG=R1+R3 >3平方の定理より 直角△OABについて > (2R1-R2)^2+R1^2=(R1+R2)^2 ...(3) 直角△OGBについて > R1^2+(R1-2R2-R3)^2=(R1+R3)^2 ...(4) ← × 正: R1^2+(2R1-2R2-R3)^2=(R1+R3)^2 ...(4) >(1)~(4)をa>0,R2>0の条件で解けば > a=48,R1=12,R2=8 ← × 正:a=15,R1=15/4,R2=5/2 >と求まります。 > ∴正方形の一辺の長さa=48 ← × 正: ∴正方形の一辺の長さa=15 以上です。

  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.6

ANo.2を以下の通り訂正して、再回答します。 円を大円、中円、小円と呼び、 まず中円の半径をa、大円の半径をrとします。 正方形の横の長さは大円の直径の2倍ですから4r。 左右の大円の中心と上方の中円の中心とで出来る 三角形は、底辺が2rで左右の辺がr+aの二等辺三角形 なので、その高さは√{(a+r)^2-r^2}=√(2ar+a^2)。 これにaを加えて2倍した値が正方形の縦の長さになる ので、それを横の長さ4rと等しいとおくと、 4r=2*{√(2ar+a^2)+a} 2r-a=√(2ar+a^2)、両辺を二乗して 4r^2-4ar+a^2=2ar+a^2 r≠0からr=3a/2、a=2r/3・・・・・(ア)が得られます。  次に小円の半径をx(=1/2)とします。 小円の中心と中円の中心を結ぶ線分の長さはa+x。   〃   大円     〃      r+x。 左右の大円の中心と上方の中円の中心とで出来る二等辺 三角形の底辺と小円の中心とを結ぶ線分の長さは √{(r+x)^2-r^2}=√(x^2+2xr) これに(a+x)を加えたものがこの二等辺三角形の高さに なるので、三平方の定理から {(a+x)+√(x^2+2xr)}^2+r^2=(a+r)^2。 これに(ア)とx=1/2を代入してrを求めるとr=15/4が 得られます。 以上から正方形1辺の長さ=4r=15となります。

rain_tall
質問者

お礼

ありがとうございます。直角三角形を2つ作るまではできたのですが計算がうまく行かず、、お世話になりました。高校の試験ってこんな難しかったかなぁ・・当時はきっとできてただろうに・・(^^ゞ ルートって中学で出てたんですね。 ありがとうございました。

  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)
回答No.5

正方形の上半分の主に右側だけ考えます。 小さい円の中心をA,中位の円の中心をB,右側の大きい円の中心をC, 大きい円同士の接点をDとします。 大きい円の半径をR,中位の円の半径をrとします。正方形の1辺は4Rです。 △BCDは、直角三角形だから、BC=r+R,CD=R,BD=2R-r (r+R)^2=(2R-r)^2+R^2より、 r^2+2Rr+R^2=4R^2-4Rr+r^2+R^2 6Rr-4R^2=0 2R(3r-2R)=0 R>0だから、r=(2/3)Rより、中位の円の直径は(4/3)R △ACDは、直角三角形だから、AC=R+(1/2), AD=2R-(4/3)R-(1/2)=(2/3)R-(1/2) (R+(1/2))^2=((2/3)R-(1/2))^2+R^2 R^2+R+(1/4)=(4/9)R^2-(2/3)R+(1/4)+R^2 (4/9)R^2-(5/3)R=0 4R^2-15R=0 R(4R-15)=0 R>0だから、R=15/4 よって、正方形の1辺は、4R=4×(15/4)=15 でどうでしょうか?図を描いて考えてみて下さい。

rain_tall
質問者

お礼

サンキューです。直角三角形2つ作るまではできてたんですが・・なんか解けなかった・・_| ̄|○ ありがとうございました。久しぶりに当時の心境を思い出しました。

  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.4

済みません。円を大小2種類で回答したので、ANo.2 を無視して下さい。

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2127/6289)
回答No.3

>#1さん >小さな円の直径を1とする 半径を1とする、のではないと思います。 >#2さん 図には、3種類の円があるように見えます。 # そもそも、「小さな円」とはどれのことか?3種類のうち「いちばん」小さな円のこと?

rain_tall
質問者

補足

もっとも小さな円のことと思われます。

  • yyssaa
  • ベストアンサー率50% (747/1465)
回答No.2

計算式を分かり易くするため、小さな円の半径をa(a=1/2)、 大きな円の半径をrとします。 正方形の横の長さは大きな円の直径の2倍ですから4r。 両方の大きな円の中心と上の小さな円の中心とで出来る 三角形は、底辺が2rで左右の辺がr+aの二等辺三角形 なので、その高さは√{(a+r)^2-r^2}=√(2ar+a^2)。 これにaを加えて2倍した値が正方形の縦の長さになる ので、それを横の長さ4rと等しいとおくと、 4r=2*{√(2ar+a^2)+a} 2r-a=√(2ar+a^2)、両辺を二乗して 4r^2-4ar+a^2=2ar+a^2 4r^2-6ar=0 2r^2-3ar=0 r(2r-3a)-0 r≠0からr=3a/2、a=1/2より 正方形の横の長さ=4r=4*3a/2=6a=3 検算として正方形の縦の長さ2*{√(2ar+a^2)+a}に a=1/2、r=3/4を代入すると 2*{√(2ar+a^2)+a}=2*[√{2*(1/2)*(3/4)+1/4}+1/2] =2*{√(1)+1/2}=2*(1+1/2)=6/2=3となり横の長さと 一致します。

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.1

大きい円の半径から順にR1,R2,R3、正方形の一辺の長さをaとすると  a=4R1 ...(1), R3=1 ...(2) 3平方の定理より  (2R1-R2)^2+R1^2=(R1+R2)^2 ...(3)  R1^2+(R1-2R2-R3)^2=(R1+R3)^2 ...(4) (1)~(4)をa>0,R2>0の条件で解けば  a=48,R1=12,R2=8 と求まります。  ∴正方形の一辺の長さa=48

rain_tall
質問者

お礼

(4)は、R1^2+(2R1-2R2-R3)^2+=(R1+R3)^2 ですよね? (3)が、(2R1-R2)^2+R1^2=(R1+R2)^2 のままで、 これで解くと、 R1=R2(R1+1) で、、、あれ?なんかこの式おかしい。。 でもとりあえず。もう一個方程式がいるので、 (R1+R2)^2+(R1+R3)^2=2(2R1-2R2-R3)^2を(5)として、、 あ、4R1^2+4R1^2=√8R1 だから、 。。。もうダメだ。。_| ̄|○

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