数学Ａ 重複順列について

質問

(1) (2) (3) (4)の記号のついた玉が1個ずつ計4個入っている袋から、玉を1個ずつとりだしてもとに戻すことを繰り返し、(1) (2) (3) (4)の玉を全て取り出したら、この試行を終わることにする
5回目で終わる玉の取り出し方は何通りあるか また、5回目では終わらない5回の取り出し方は何通りあるか

という問題ですが、恐らく4Π5＝1024通りの中から探すのですが探し方がわかりません
解説をして頂きたいです お願いします

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

3種類を4回で取り出す取り出し方=3*4!/2=36通り
5回目までに2種類だけを取り出す取り出し方
4C2*(5C1+5C2)*2=180通り
5回目までに3種類だけを取り出す取り出し方
4C3*{(5C3)*2+(5C2)*(3C2)}*3=600通り
これらは何故このような計算になったのでしょうか？よければ教えてください

＞(1) (2) (3) (4)の記号をabcdで書きます。

3種類を4回で取り出す取り出し方=3*4!/2=36通り
＞例えばabcの3種類を4回で取り出す場合、どれも必ず1回は
取り出さなければならないので、その組合せはaabc又はabbc
又はabccとなり、これらの3通りを4回で取り出すことになり
ます。そのうち例えばaabcを4回で取り出す順番は、aabc、
aacb、cbaa・・・など、全部で4!/2=12通りあります。
異なる4個を4回で取り出す場合は4!=24通りの順番がありますが、
いまはaaが重複しているので4!/2=12通りとなり、3通りの
組合せと掛けて3*4!/2=36通りとなります。

5回目までに2種類だけを取り出す取り出し方
4C2*(5C1+5C2)*2=180通り
＞4種類から2種類を選ぶ選び方はab、bc、cd・・・など全部で
4C2=6通りの組合せがあります。例えばabの場合、それぞれ
1回は取り出さなければならないので、残り3回をaab又はabb
又はaaa又はbbbの4通りの組合せで取り出すことになります。
そしてaaaabとabbbbの場合は同じ種類が4回重複しているので、
それらを5回で取り出す取り出し方はそれぞれ5C1=5通り、
計算は5!/(4!*1!)=5通りです。
そしてabaab、abbbaの場合は2回重複している種類と3回重複
している種類があるので、それらを5回で取り出す取り出し方
はそれぞれ(5C2)=10通り、計算は5!/(3!*2!)=10通りです。
以上を合計して4C2*{(5C1)*2+(5C2)*2}=6*(5*2+10*2)=180通り
になります。

5回目までに3種類だけを取り出す取り出し方
4C3*{(5C3)*2+(5C2)*(3C2)}*3=600通り
＞4種類から3種類を選ぶ選び方はabc、abd、acd、bcdの
4通りので、式で書けば4C3=4通りとなります。例えば
abcの場合、それぞれ1回は取り出さなければならないので、
残り2回をaa又はbb又はcc又はab又はbc又はcaの6通りの
組合せで取り出すことになります。
そして、abcaa、abcbb、abcccの場合は同じ種類が3回重複して
いるので、それらを5回で取り出す取り出し方はそれぞれ
(5C3)*2=20通り、計算の仕方を変えて5!/3!=20通りとしても
同じです。
そしてabcab、abcbc、abccaの場合は2回重複している種類が
2種類あるので、それらを5回で取り出す取り出し方はそれぞれ
(5C2)*(3C2)=10*3=30通り、計算の仕方を変えて5!/(2!*2!)=30
通りとしても同じです。
以上を合計して4C3*{(5C3)*2*3+(5C2)*(3C2)*3}
=4*(20*3+30*3)=4*150=600通りとなります。

お礼

よく分かりました 回答ありがとうございます

回答No.3

yyssaa

5回目で終わる玉の取り出し方
＞4回目までに3種類の玉を取り出し、5回目に残りの
1種類を取り出す取り出し方
3種類の選び方4C3=4通り
3種類を4回で取り出す取り出し方=3*4!/2=36通り
5回目は1種類だけなので1通りしかなく、4回目
までの取り出し方に同じ。
よって答えは4×36=144通り。

5回目では終わらない5回の取り出し方
＞5回目までに1種類だけを取り出す取り出し方は4通り
5回目までに2種類だけを取り出す取り出し方
4C2*(5C1+5C2)*2=180通り
5回目までに3種類だけを取り出す取り出し方
4C3*{(5C3)*2+(5C2)*(3C2)}*3=600通り
よって答えは4+180+600=784通り。

お礼

3種類を4回で取り出す取り出し方=3*4!/2=36通り
5回目までに2種類だけを取り出す取り出し方
4C2*(5C1+5C2)*2=180通り
5回目までに3種類だけを取り出す取り出し方
4C3*{(5C3)*2+(5C2)*(3C2)}*3=600通り

これらは何故このような計算になったのでしょうか？よければ教えてください

回答No.2

lovingjk

まず始めのやつは

○×△○□

になりますね

まず○×△○だけを
考えます

○×△○の並び方は
４Ｃ２で６通り

次は○×△○に
１から４をあてはめる場合の数は

４×３×２×１で２４通り
２４×６で１４４

次は
５回目で終らない方法です
よってこれは
全体－五回目までに終る数

よって

５回目に終るのは１４４

４回目は
４×３×２×１
この時点で終わっており
５回目はなんでもいいので×４します

ここは全体の場合の数が
４の５乗だから

だから

１０２４－(１４４＋９６)で答えになります

参考書は解答が詳しく自分で進められるものがよいと思いますね

お礼

４×３×２×１←これはなんでですか？

回答No.1

lovingjk

答え144ですか？
違うならわかりません

お礼

5回目で終わる玉の取り出し方は144通りです
ちなみに5回目では終わらない5回の取り出し方は784通りです