順列についての質問

質問

(1) (2) (3) (4)の記号のついた玉が1個ずつ計4個入っている袋から、玉を1個ずつとりだしてもとに戻すことを繰り返し、(1) (2) (3) (4)の玉を全て取り出したら、この試行を終わることにする
5回目で終わる玉の取り出し方は何通りあるか

答えは4回目までが(1)～(3)の全てが現れるような重複順列だから3^4-(2^4-2)×3-3＝36通り
それに4かけてるのですが
3^4-(2^4-2)×3-3という数式の意味と4かけた意味を教えてください

回答No.1

DJ-Potato · ベストアンサー

(1)～(3)の３種類の玉で４回引いて、最後に(4)を引くので、
４回目までに取り出す玉の出方が全部で3^4
そのうち、3種類が出なかったものを除きます。
1種類だけしか出なかったのが、(1)(1)(1)(1)と(2)(2)(2)(2)と(3)(3)(3)(3)の３通り
2種類だけしか出なかったのが、
(1)と(2)で4回引く{2^4}　-　{(1)(1)(1)(1)と(2)(2)(2)(2)}
(1)と(3)、(2)と(3)で同様なので、×３

なので
3^4-{(2^4-2)×3}-3

最後に(4)を引くパターンに対し、最後に(1),(2),(3)を引くパターンが同じだけあるので、×４

ということですね。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.3

yyssaa

3^4は1回目から4回目までの各回に(1)～(3)を並べる並べ方の
総数です。
その中には(1)と(2)だけの並びが2^4通り含まれていますが、
これらは4回目までに(1)～(3)の全てが現れるという条件に
合わないのでマイナスします。ただし、その中の全てが(1)の
並びと全てが(3)の並びの2通りは後でまとめて除くので、
(2^4ー2)をマイナスします。(1)と(3)だけの並び、(2)と(3)
だけの並びについても同じようにマイナスする必要があるので、
-(2^4-2)×3となります。
そして最後の-3は(1)だけの並び(2)だけの並び(3)だけの並び
の3通りをマイナスしているのです。
　4かけた意味は、(1) (2) (3) (4)から3種類の記号を選ぶ
選び方の数4C3=4です。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.2

151A48

４回までに（４）を除く（１）、（２）、（３）のすべてが出て、５回目に（４）が出る場合を考えます。

３＾４　は（１）、（２）、（３）から４個とる重複順列

２＾４－２は　（１）、（２）だけからなる重複順列から（１）だけのものと（２）だけのものを除いた。
このケースは他に（１）、（３）だけのもの、（２）、（３）だけのものがあり、全部で３通りあるので３倍している。

３は（１）だけのもの、（２）だけのもの、（３）だけのもの、の３通り。

以上は５回目に（４）が出て終わるケースだが、（３）、（２）、（１）の場合も同様なので、最後に４倍している。

お礼

回答ありがとうございます