逆関数の微分について教えてください

質問

ある関数の　逆関数の微分を求めよというのと
　　　　　逆関数の導関数を求めよ
というのはちがうのでしょうか？

微分と導関数を求めるというのは同じ意味
のように思うのですが？
違うならどう違うのでしょうか？

回答No.6

stomachman

同じ意味ですよ。

　数学はそもそも言葉（用語）の体系で出来ている学問です。言葉遣いがいい加減じゃ、数学はできない。なので、ご質問はなかなか結構なポイントを突いていると思います。

　ご質問の例文で、変なのは2点。
(1) 「微分」というのは操作、演算です。「微分を求めよ」はその操作そのものを答えろ、と要求していることになる。ならばやり方を書けば良いのか？いや、そういう意味じゃないだろ。
(2) ここで「いや、そういう意味じゃないだろ」と思うのは、そもそも「求めよ」という言い方自体がおかしいために生じている混乱に気がついたから。

　ともかく、どちらも「言葉遣いがへたくそだぞ」という話に過ぎない。実際、言葉遣いを直して、
「ある関数(f)の逆関数(g)の導関数(h)を求む」と「ある関数(f)の逆関数(g)を微分せよ（その結果がh)」なら文句なく同じこと。
　ですから、ご質問の直接の答は、「同じ意味ですよ。」

　さて、「求めよ」は、数学の教程だけで通じる特殊な言い回しであって、まともな日本語じゃありません。
　明治時代の問題集を見ると、文語で「…を求む」と書いてある。明らかに、「出題者が解答者に対して答を出すよう求めている」んです。口語にすれば「…を求める」ですが、これでも「求める」という動作の主体は出題者ですから、ここまではマトモです。
　ところが、何を誤解したんだろう、「何か操作をして答を出す事」を指して「求める」と表現するおかしな言い方が広まってしまい、挙げ句に出てきたのが「求めよ」「求めなさい」という言い回し。
　「…を求めよ」というのを日本語本来の意味で解釈すれば、出題者は解答者に「…を求める」ということを行うよう要求しているわけです。だから出題者に「…を求めよ」と言われたら、「ラジャ。…を求めます。…を求めています。誰か…をお願いします」が答である。（…の所に「助け」と書き込んでみれば分かるでしょう。）もちろん、数学でこんな答案を書いたら×を貰うのは確実で、「求めよ」は、いちいち「求む」と読み替えて解釈しなくちゃいけません。めんどくさ。
　で、もっと酷いのが「求まる」です。なんだそりゃ、と言ってないで「答が得られる」という意味だな、と読み替えなくちゃいけない。気持ち悪いけど。

回答No.5

alice_44

話が深まっているところに茶々を入れて恐縮だが…
「逆関数の導関数」と「逆関数の微分係数」なら
ほぼ同じようなもの(厳密には違う)だが、
「逆関数の微分」は、全く別のものだよ。
「微分する(動詞)」と「微分(名詞)」は違うから。

回答No.4

Tacosan

「これによると　ｙ＝　√ｘ　の逆関数微分は・・・
１÷　（１／２かけるX＾-2）ですよね。」
の「１／２かけるX＾-2」はどのようにして得られたんだろう.

さておき, #1 への「お礼」でやってることはずれてます. じっと見ると分かりますが,
・y = √x の逆関数である y=x^2 に対して
・「逆関数の微分の公式」である 1/(dy/dx) を適用している
わけです. で何が得られるかといえば
「y = √x の逆関数」の「逆関数の微分」
つまり「y = √x の微分」です.

y = √x に対して素直に「逆関数の微分」を使うと (dy/dx = 1/2√x の逆数だから)
1/(dy/dx) = 2√x = 2y
です. これは (x と y を入れ替えてみればわかりますが) 「y = x^2 の導関数が y' = 2x」と符合しますね.

回答No.3

Tacosan

えぇと.... 確かに y=√x の導関数は １／２√ｘ ですから, 「やっていること」と「結果として得られたもの」との間に齟齬は全くありません. ただ, 残念ながら「やっていること」がちょっとずれちゃってます.

「公式の　１／dy／dx」とは, 何の「公式」ですか? そして, その「公式」を何に適用したのですか?

お礼

どこがずれているのか・・・・
えーと　ある関数ｆ（ｘ）の逆関数を微分するというのは　
ある関数ｆ（ｘ）を微分した　ｄｙ／ｄｘ　の逆数を
とった　１÷　ｄｙ／ｄｘ　じゃなっかたでしたっけ。
これによると　ｙ＝　√ｘ　の逆関数微分は・・・
１÷　（１／２かけるX＾-2）ですよね。

つまり　ｙ＝　√ｘ　の逆関数　ｙ＝X＾2　の導関数
　　　　　　　　　　　　　　　ｙ´＝２X
　　　と違うように思うのですが。

回答No.2

asuncion

まあ、確かに、「微分を求める」とは言わないですね。普通は。
「微分する」とは言いますけれど。

回答No.1

Tacosan

あまり深く考えず「同じ」と思っていいと思います.

以下は余談:

厳密に言えば「微分」と「導関数」とは違う, とすべきかもしれません. つまり,
・ある関数を微分して得られるのが導関数
・ある関数からその導関数を求める操作が微分
というのが適切かも. このように解釈すれば「微分」と「導関数を求める」が「同じ意味」ということになります.

ただ, そうすると「微分を求めよ」は意味不明ですけどね.

お礼

早速、回答ありがとうございます。
しかし、　ｙ＝√ｘの逆関数の微分はというとき
　　　　　逆関数が　ｙ＝ｘ＾２
　　　　　　となり　公式の　１／dy／dxによると
　　　　　　　答えは　１／２√ｘ　となりますが
　　　　　　ｙ＝ｘ＾２　の導関数は　ｙ´＝２Xとなるのでは？

　　　　　なんか私、勘違いしているのでしょうか？