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この式は正しいのでしょうか。

Σ（ｎ＝１→∞）１/{２ｎ(２ｎ－２)！}＝（e-1）/e 不定積分の無限級数展開のようなことを考えていたときに、出来たのですが、正しい式でしょうか？

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  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

正しいですよ。 f(x) = 1-(e の -x 乗) と置いて f(x) のマクローリン展開に x = 1 を代入すると、 隣り合う二項づつを組にして作り直した級数が 質問の式になります。 1/((2n)(2n-2)!) = (2n-1)/(2n)! = 2n/(2n)! - 1/(2n)! = 1/(2n-1)! - 1/(2n)! = -(-1 の 2n-1 乗)/(2n-1) -(-1 の 2n 乗)/(2n)! ですからね。 二項づつ組にしても級数の値が変わらない理由は マクローリン展開が絶対収束するからで、 冪級数の収束は収束円の内部で絶対収束である ことに依っています。 文中にある「不定積分」というのは、 f(x) = ∫[t=0からxまで](e の -t 乗)dt から この f(x) が出てきたということかなあ。

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  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.1

合ってます。 参考URL http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum(1/(2*n*(2*n-2)!),n,1,inf)

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