数学I・A・II・B最少・大小比較問題です

質問

解答解説お願いいたします。

a, b, c は定数で a≦b≦c とし, xの2つの関数
f(x)=|x-a|+2|x-b|+3|x-c|
g(x)=(x-a)^2 +2(x-b)^2+ 3(x-c)^2
の最小値をそれぞれF, Gとする。F, Gをa, b, cで表せ。
また, F^2と6Gとの大小を比べよ。

回答No.1

noname#158987 · ベストアンサー

まず、f(x)について。
グラフを描くようにして下さい。
絶対値記号をはずさないと考えにくいでしょう。
|x-a|は、
x≦aのとき、 -(x-a)
a≦xのとき、 (x-a)
になるのはいいですか？
|x-b|や|x-c|でも同様です。

a≦b≦c の条件があるので、以下の４つの場合分け（グラフで描けば、xが４つの領域にわかれることがわかるはず）
ができ、それぞれについて絶対値記号はずすと以下の式になる。
(1)　x≦a　のとき　f(x) =-6x + a +2b + 3c
(2)　a≦x≦b f(x)= -4x - a + 2b + 3c
(3)　b≦x≦c f(x)= -a -2b + 3c
(4)　c≦x f(x)= 6x - a -2b -3c
a,b,cは定数なので、(3)は定数（グラフなら横線）になる。
また、(1)、(2)は負の傾きを持ち、(4)は正の傾きを持つので、(3)が最小値をとることが分かる。
即ち、F= f(x)= -a -2b + 3c (ただし、b≦x≦c)

続いて、g(x)
について、
これは、まず展開してx^2 x 定数でまとめます。（ま、しなくてもいいんですけど、後で計算しやすくするため。）
g(x) = 6x^2 - (2a + 4b + 6c)x + a^2 + 2b^2 + 3c^2
それから、g(x)の微分であるg'(x)を求めます。g(x)が下に凸のグラフなので、頂点のy座標を求めれば最小値がもとまります。
g'(x) = 2(x-a) + 4(x-b) + 6(x-c)
g'(x)=0となるのは、　x=(a + 2b + 3c)/6　
このとき、最小値をとるので、
G = g((a + 2b + 3c)/6) = (5a^2 + 8b^2 + 9c^2 - 4ab -6ac -12bc)/6

最後に大小比較です。
6G-F^2 =4a^2 + 4b^2 ≧0 　　　（途中の計算は省きます。結構大変ですけど頑張ってください。）
この不等号の中の等号は　a = b = 0 ときに成り立ちます。

よって、
6G ≧ F^2
（a = b = 0 ときに等号成立）

お礼

この上なく丁寧な解説有難うございます。
自分は馬鹿なのでこれを見ながらでもなお苦労するかと思いますが
なんとか最後まで完全に理解したいとおもいます。
貴重な時間を割いてまで回答してくださったこと心から感謝いたします。