- 締切済み
放物線と法線の問題。
【問題】 P1:y=-x^2-3/16 P2:y=x^2+1/4 において、 P1の接線の法線が、P2の接線となる場合の法線の式を 教えてください。
- mstgg01240
- お礼率0% (0/5)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数0
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
みんなの回答
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
#3です。 A#3の回答でのP1の接線と法線の図を描きましたので添付します。 P1は上に凸の放物線、P2は下に凸の放物線になり、黒の実線で示します。 A#3でP1の接線の接点のx座標a と P2の接線(P1の法線)の接点のx座標b の組み(a,b)が2通り存在しましたので、ご質問の法線(水色の直線)も 2通り存在します。 P1の青線の接線1,接線2に対して、それぞれ、水色の法線1,法線2が引けます。 これは、P1,P2がY軸対称なので、当然、Y軸に対称な法線が2本引けることが 分かるでしょう。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
P1上の点A(a,-a^2-(3/16))における P1の接線は y=-2a(x-a)-a^2-(3/16) y=-2ax+a^2-(3/16) ...(A) なので P1の点Aにおける法線は y=(1/(2a))(x-a)-a^2-(3/16) y=(x/(2a))-a^2-(11/16) ...(B) P2上の点B(b,b^2+(1/4))におけるBにおける接線は y=2b(x-b)+b^2+(1/4) y=2bx-b^2+(1/4) ...(C) (B)と(C)が一致するとき 1/(2a)=2b かつ -a^2-(11/16)=-b^2+(1/4) 整理して 4ab=1, b^2-a^2=15/16 a,bの連立方程式と見倣して解くと (a,b)=(1/4,1),(-1/4,-1) >P1の接線の法線が、P2の接線となる場合の法線の式を >教えてください。 (A),(C)にa,bを代入すれば接線と法線の式が得られるから P1の接線がy=-(x/2)-(1/8)の時の法線は y=2x-(3/4) または P1の接線がy=(x/2)-(1/8)の時の法線は y=-2x-(3/4) となります。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
おっと失礼。 >(5)より、c=-5/8 >∴求める法線の式は、y=2x-(5/8)およびy=-2x-(5/8) これは間違い。 (5)より、c=-3/4 ∴求める法線の式は、y=2x-(3/4)およびy=-2x-(3/4) だと思います。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
P1における接点をA(a,-a²-(3/16))とする。 P2における接点をB(b,b²+(1/4))とする。 点Aにおける接線の傾き=-2aより、 点Aにおける法線の傾き=1/(2a) … (1) また、点Bにおける接線の傾き=2b … (2) (1)=(2)より、b=1/(4a) よって、点Bの座標をaを用いて表わすと(1/(4a),(1/(16a²))+(1/4))となる。 点Aにおける法線の式は、y=x/(2a)+c これが点Aと点Bを通るので、 -a²-(3/16)=(1/2)+c … (3) (1/(16a²))+(1/4)=(1/(8a²))+c … (4) (3)よりc=-a²-(11/16) … (5) (5)を(4)に代入して、 (1/(16a²))+(1/4)=(1/(8a²))-a²-(11/16) a²-(1/(16a²))+(15/16)=0 16a⁴+15a²-1=0 (a²+1)(16a²-1)=0 aは実数であるので、a=±1/4 (5)より、c=-5/8 ∴求める法線の式は、y=2x-(5/8)およびy=-2x-(5/8) 合っているかどうかはわかりません。
関連するQ&A
- 法線の問題です。教えて下さい!
xy平面上に曲線C:y=2分の1×xの二乗がある。点PにおけるCの法線とは Pを通り、PにおけるCの接線に垂直な直線のことである。 点(t、2分の1×tの二乗)(tは0でない)におけるCの法線をltとする。 点(2√2、k)を通るCの法線がちょうど2本あるようなkの値を求めよ。 ltの方程式は求めることが出来たのですが ここからどうすればいいのかが分かりません。 詳しい解説をよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 放物線に何本の「法線」が引けるでしょうか
お世話になります。 この問題は有意義だと思いますので、お時間のある方は考えていただけないでしょうか? 平面上に放物線があります。また、平面上に1点があるとき、そこから放物線に何本の接線が引けるでしょうか? これは直感的にも明らかです。たとえば、放物線をy=ax^2(a>0)、点を(p,q)とすると、 q>ap^2のとき、0本 q=ap^2のとき、1本 q<ap^2のとき、2本 では、平面上に放物線があります。また、平面上に1点があるとき、そこから放物線に何本の「法線」が引けるでしょうか? これは直感では解けなくて、多くの計算がいりそうなのです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 法線の問題
媒介変数θを用いて表される曲線 (ーπ/2<θ<π/2) ・x=tanθ ・y=acosθ をCとする。ただし、aは正の定数である。 (1)曲線C上の点Pにおける法線が原点(0.0)を通る時、Pの座標を求めよ。 という問題で写真にあるとおり解答では 1<aのとき 点Pの座標は(0、a) (±√(aー1)、√a) となっていたのですが、1<aだったらtは0になれないと思うのでですが、なんで(0、a)もあるのでしょうか? ちなみに曲線Cの方程式はf(x)と表し、f(x)=a/√(x^2+1)となってます pは(t、a/√(t^2+1))と置いてます 法線の式は写真の通り
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 接線と法線の方程式について
こんにちは。接線と法線の方程式について問題の解き方が分かりません。問題は、曲線y=x^3-9/2x^2+6x+1の接線で、次の条件を満たすものを求めよと言うものです。 (1)傾きが6である (2)x軸に平行である と言う問題です。仮定が知りたいので解ける方はご回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 法線ベクトルの問題
この問題について教えてください。 「次の2直線のなす角aを求めよ。ただし、0≦θ≦90°とする」 x+√3y-1=0・・・(1) x-√3y+4=0・・・(2) 答えは二つの式の法線ベクトルをだして内積を使って角度を求めるらしいのですが、二つの式自体のベクトルを使ってできませんか? 自分でやってみました。 (1)のベクトルは成分であらわすと(√3,-1) (2)のベクトルは成分であらわすと(√3,1) これより 内積は-2| cosθ=-1/2 θ=120° ただし、0°≦θ≦90°より a=60° 答え自体は一緒です。ただ解答は法線ベクトルを用いています。このような種類の問題で法線ベクトルを使う必要がありますか?ご回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 何故偏微分が法線の成分に
関数f(x,y,z)=0という曲面があって曲面上のある点Pの接平面を求めるとき Fx*X'+Fy*Y'+Fz*Z=0という式が出ます。 この式の意味するところはFx Fy FzがP点での法線ベクトルのx y z成分になるということらしいのですがよく理解出来ません。何故偏微分が法線ベクトルの成分になるのでしょうか?教えてください!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 単位法線ベクトルの問題なんですが。。。
曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ. という問題です. 他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4 とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。
- ベストアンサー
- 数学・算数