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放物線と法線の問題。

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【問題】

P1:y=-x^2-3/16

P2:y=x^2+1/4

において、
P1の接線の法線が、P2の接線となる場合の法線の式を
教えてください。

回答 (全4件)

  • 回答No.4

ベストアンサー率 67% (2650/3922)

#3です。

A#3の回答でのP1の接線と法線の図を描きましたので添付します。
P1は上に凸の放物線、P2は下に凸の放物線になり、黒の実線で示します。
A#3でP1の接線の接点のx座標a と P2の接線(P1の法線)の接点のx座標b
の組み(a,b)が2通り存在しましたので、ご質問の法線(水色の直線)も
2通り存在します。
P1の青線の接線1,接線2に対して、それぞれ、水色の法線1,法線2が引けます。
これは、P1,P2がY軸対称なので、当然、Y軸に対称な法線が2本引けることが
分かるでしょう。
Be MORE 7・12 OK-チップでイイコトはじまる
  • 回答No.3

ベストアンサー率 67% (2650/3922)

P1上の点A(a,-a^2-(3/16))における
P1の接線は
 y=-2a(x-a)-a^2-(3/16)
 y=-2ax+a^2-(3/16) ...(A)
なので
P1の点Aにおける法線は
 y=(1/(2a))(x-a)-a^2-(3/16)
 y=(x/(2a))-a^2-(11/16) ...(B)

P2上の点B(b,b^2+(1/4))におけるBにおける接線は
 y=2b(x-b)+b^2+(1/4)
 y=2bx-b^2+(1/4) ...(C)
(B)と(C)が一致するとき
 1/(2a)=2b かつ -a^2-(11/16)=-b^2+(1/4)
整理して
 4ab=1, b^2-a^2=15/16
a,bの連立方程式と見倣して解くと

 (a,b)=(1/4,1),(-1/4,-1)

>P1の接線の法線が、P2の接線となる場合の法線の式を
>教えてください。
(A),(C)にa,bを代入すれば接線と法線の式が得られるから

P1の接線がy=-(x/2)-(1/8)の時の法線は y=2x-(3/4)
または
P1の接線がy=(x/2)-(1/8)の時の法線は y=-2x-(3/4)

となります。
  • 回答No.2

ベストアンサー率 31% (1560/4959)

おっと失礼。

>(5)より、c=-5/8
>∴求める法線の式は、y=2x-(5/8)およびy=-2x-(5/8)

これは間違い。

(5)より、c=-3/4
∴求める法線の式は、y=2x-(3/4)およびy=-2x-(3/4)

だと思います。
  • 回答No.1

ベストアンサー率 31% (1560/4959)

P1における接点をA(a,-a²-(3/16))とする。
P2における接点をB(b,b²+(1/4))とする。

点Aにおける接線の傾き=-2aより、
点Aにおける法線の傾き=1/(2a) … (1)
また、点Bにおける接線の傾き=2b … (2)
(1)=(2)より、b=1/(4a)
よって、点Bの座標をaを用いて表わすと(1/(4a),(1/(16a²))+(1/4))となる。

点Aにおける法線の式は、y=x/(2a)+c
これが点Aと点Bを通るので、
-a²-(3/16)=(1/2)+c … (3)
(1/(16a²))+(1/4)=(1/(8a²))+c … (4)

(3)よりc=-a²-(11/16) … (5)
(5)を(4)に代入して、
(1/(16a²))+(1/4)=(1/(8a²))-a²-(11/16)
a²-(1/(16a²))+(15/16)=0
16a⁴+15a²-1=0
(a²+1)(16a²-1)=0
aは実数であるので、a=±1/4
(5)より、c=-5/8
∴求める法線の式は、y=2x-(5/8)およびy=-2x-(5/8)

合っているかどうかはわかりません。
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