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有界

有界がいまいちわからないので再度質問させていただきます。 f=1/xは、lim_(x→0)で無限大に接近するので有界ではないけれどていぎいきをx<-1,1<xなどとすれば有界ですよね? ではf(x)=x^3やf(x)=e^xなどは有界なのでしょうか? f(x)=e^xやf(x)=x^2は下に有界というのであってますか?上はどうなのでしょうか? 

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回答No.3

「界」の訓読みは「さかい」なので、 漢文風に「有界」⇒「界(さかい)有リ」と読めば、 意味はそのままです。 y = -e^(-x) は、y = -e^(-x)<0 ですから、 この「界」を、牧場の境界の「柵」、 グラフ上の点を、飼っている「牛」とでもみれば、 y = 1 でも、y = 5 でも、y = 100 でも、「柵」を作れば、 「牛」は、その「柵」を越えて、上には行かないのは明らかです。 逆に、「牛」の性質は解らない場合に、 適当な(例えば、y=5の)ところに、ある時点で、「牛」が 全部「柵」の下側にいるような場所に「柵」を作って、 「牛」がぶつかったり、乗り越えたりするようなら、 アラームが鳴るセンサーを付けた上で、監視してても、 アラームが一向にならなければ、「牛」の性質上、 その「柵」を越えない、と、結論付けてもよさそうです。 これが、「関数が上に有界である」ということで、 その柵の場所・y=5 を、「上界」といいます。 「有界」という言葉自体には、これ以上の意味はありません。 この続きに書いたような「有界」と一緒に使われる、色々なアイデアに 引きずられて、無用のことを考えて、よく解らなくなっている のではないかと思います。 「上に有界かつ単調増加する関数は収束する」は この譬えのまま話を続けるなら、 「牛」が、放っておくと、自分の左の「牛」より、 ちょっとでも上に、でなくても、自分の左の「牛」に、 上に出られるようなことはないように並ぶ性質が ある場合、それでも、「柵」のセンサーが鳴らないなら、 柵のすぐ側まで来ているか、ずっと下の方にかは解らないが、 「牛」がこれ以上は上に来ないような線ができているはずだ、 ということです。 センサーに機能を付け足して、「柵」のすぐ側まで来たときには、 Bの音のアラームが鳴るようにしておくと、 最初のアラームは全く鳴らないが、 Bのアラームが鳴りっぱなしになる場合と、 Bのアラームも全く鳴らない場合があります。 どちらの「柵」も「上界」なのは間違いありませんが、 Bのアラームが鳴りっぱなしになる「柵」は特別で、 この「柵」は、「牛」が「これ以上は上に来ない線」 に建てられていることが解ります。これを「上限」と いい、これが、「収束」する「極限値」になります。 つまり、「上に有界=上界を持つ」かつ「単調増加」 からは、「収束」すること=「極限値」を持つことは 言えても、「極限値」そのものの値は解らない。 「極限値」を求めるには、「上界」の中で一番下に ある「上限」が解らないといけない、ということです。

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回答No.2

関数が有界というのは、 その関数の像が実数の部分集合になりますが、その集合が有界か? ってことです。 本来は定義域をきちんと明示しないと、意味がないです。多分、定義域を断ってないときは、その関数が定義できるすべての範囲の像を考えて、その像が実数の部分集合として有界か問うてるのだとおもいます。

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  • cockpit
  • ベストアンサー率40% (2/5)
回答No.1

同じ#でごめんなさい。 有界は|f(x)|≦mですが 上に有界の場合f(x)≦m 下に有界の場合f(x)≧m つまり、有界とは上に有界かつ下に有界です。 x^3、e^xなどは有界ではないけれどe^xは下に有界です。

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