有界変動についての真偽判定問題で教えて下さい
下記の問題を解いています。
[問] f:[a,b]→R (a,b∈R,a<b)とする時,次の真偽を判定せよ。
(1) fが増加ならばfは有限変動である。
(2) fが増加ならf(x)=∫[x..a]f'(y)dy.
(3) fが有界変動ならばfは2つの増加関数の差として表される。
(4) fが絶対連続ならばf(x)=∫[x..a]f'(y)dy.
(5) fが有界変動ならばfはa.e.で微分可能
有界変動の定義は
『f:[a,b]→R (但し,a,b∈R,a<b)とする。
V((s,t],f)は(s,t]⊂[a,b]でのfの変動
⇔
V((s,t],f)=sup{Σ[1≦k≦n]|f(s_k)-f(s_(k-1))|∈R∪{∞};n∈N}
(但し,s_0,s_1,…,s_nはs=s_0<s_1<…<s_n=tなる分割)
そして,特にV((s,t],f)<∞の時,fは(s,t]で有界変動という。
V((a,b],f)<∞の時,単にfは有界変動であるという』
絶対連続の定義は
『f:[a,b]→R (但し,a,b∈R,a<b)とする。fが[a,b]で絶対連続
⇔
0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;
i≠jならばInt[a_i,b_i]∩Int[a_j,b_j]=φ(但し,Int[a_i,b_i]は[a_i,b_i]の内核を表す)でΣ(b_i-a_i)<δなる[a,b]の任意の部分区間の列{[a_i,b_i]} に対し Σ(f(b_i)-f(a_i))<ε』
です。
(1)については
fが閉区間で単調なのでfは有界。従って,fは有界変動
(2)についてはf(x)=∫[x..a]f'(y)dyとはdf(x)/dx=f'(x)を満たす関数という事なのでそのような関数としてf(x)=∫[x..a]f'(y)dy+1とかも採れる。よってf(x)=∫[x..a]f'(y)dyとは限らないので偽。
(3)についてはJordanの分解定理「f:[a,b]→Rが有界変動. ⇔ ∃f_1とf_2とは増加関数でf=f1-f2」
より真。
(4)についても(2)と同様でf(x)=∫[x..a]f'(y)dy+1とかも採れる(∵f(x)=∫[x..a]f'(y)dy+1はf(x)=∫[x..a]f'(y)dyを平行移動しただけなので絶対連続性は保たれる)。よって偽。
(5)については測度としてルベーグ測度λが仮定してあるんだと思います。
fとしてディレクレ関数
f(x)=1 (xが有理数の時),0 (xが無理数の時)
を考えるとλ([a,b]∩Q)=0,λ([a,b]∩(R＼Q))≠0ですがfは[a,b]の至る所で不連続なので[a,b]の至る所で微分不可能なので
勿論,a.e.(即ち[a,b]∩(R＼Q))ででも微分不可能。 よって偽。
と結論づいたのですが如何でしょうか?
お礼
回答ありがとうございます。 うーん それがいまいち実感としてわからないんですよね。