立方体に内接し、外接しあう2つの球について．．．

質問

次の問題の解説をお願いしますm(__)m

1辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHの中に互いに外接する2つの球S1とS2が含まれている。ただしS1は常に面ABCD、面ABFE、面ADHEに接していて、S2は常に面BCGF、面CGHD、面EFGHに接している。このとき2つの球S1のS2体積の和の最大値、最小値を求めよ。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

対称性からS1,S2のそれぞれの中心O1,O2は対角線AG上にある(図参照)。
S1,S2のそれぞれの半径をr1,r2とするとS1,S2が立方体に内接し、互いに外接することから
　√3r1+r1+r2+√3r2=AG=2√3
が成り立つ。整理すると
　r1+r2=2√3/(√3+1)=3-√3 ...(1)
ここでr1,r2の取りうる範囲は最大球の条件からr1,r2の上限は1。片方の球が最大球の時、片方は最小球になるからその時の半径から下限は(√3-1)/(2√3)=(3-√3)/6。
　(3-√3)/6≦r1≦1,　(3-√3)/6≦r2≦1…(★)
S1とS2の体積の和をVとおくと
　V=(4/3)π(r1^3+r2^3)
　 =(4/3)π(r1+r2){(r1+r2)^2-3r1r2}
(1)を代入
　V=(4/3)π(3-√3){(3-√3)^2-3r1r2}
　 =(4/3)π(3-√3)(12-6√3-3r1r2)
　 =4(3-√3)π(4-2√3-r1r2) ...(2)
(1)から
　r2=3-√3-r1 ...(3)
(★)から
(3-√3)/6≦3-√3-r1≦1
(3-√3)/6≦r≦1より
∴2-√3≦r1≦1 ...(4)
(3)を(2)に代入
　V=4(3-√3)π{4-2√3-r1(3-√3-r1)}
　 =4(3-√3)π[{r1-(3-√3)/2}^2+(2-√3)/2]
　≧4(3-√3)π(2-√3)/2=2(9-5√3)π
r1(=r2)=(3-√3)/2の時　Vの最小値=2(9-5√3)π
r1=1(r2=2-√3)　または　r1=2-√3(r2=1)　の時
　Vの最大値=4(9-5√3)π
となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞r1,r2の取りうる範囲は最大球の条件からr1,r2の上限は1
これがよくわからないので教えていただきたいです。

補足

あ、ごめんなさい”お礼”に書いたことは無視してください。
当たり前のことを書いてしまいましたm(_ _)m

改めてお礼させていただきます。

回答No.2

MarcoRossiItaly

S1とS2の中心をc1、c2としましょう。
S1とS2の半径をr1、r2としましょう。
S1とS2の体積をv1、v2としましょう。

c1、c2は、対角線AG上にありますね？

まず、AGの長さを求めると、2√3になります。
正方形の対角線ACと辺CGを含む平面を考えてピタゴラスでもいいし、(2, 2, 2)というベクトルの絶対値を計算してもいいです。

S1は、1辺が2r1の立方体AB'C'D'-E'F'G'H'に内接していますね？
対角線AG'の長さは、2r1√3となります。
したがってAc1=r1√3です。
S2は、1辺が2r2の立方体A"B"C"D"-E"F"GH"に内接していますね？
対角線A"Gの長さは、2r2√3となります。
したがってc2G=r2√3です。

S1とS2は外接しているので、線分c1c2=r1+r2となっているから、

対角線AG=Ac1+c1c2+c2G=(1+√3)(r1+r2)=2√3
　　　∴r1+r2=2√3/(1+√3)=√3(√3-1)

これより、

V=v1+v2=(4/3)πr1^3+(4/3)πr2^3=(4/3)π(r1^3+r2^3)=(4/3)π(r1+r2)(r1^2-r1r2+r2^2)=(4/3)π(r1+r2){(r1+r2)^2-3r1r2}=(4/3)π√3(√3-1){3(√3-1)^2-3r1r2}=4π√3(√3-1)(4-2√3-r1r2)=4π√3(√3-1){4-2√3-r1(3-√3-r1)}

4π√3(√3-1)=k1, 4-2√3=k2, 3-√3=k3と置くと、

V=k1{k2-r1(k3-r1)}=k1(r1^2-k3r1+k2)

となり、2次関数の最大最小を求めることになります。

r1の取り得る範囲を確認します。
立方体の1辺が2よりr1の値は1が最大。
このときr2=3-√3-r1=2-√3となっていて、最小。
これは対称性によりr1の最小値でもあります。
したがって、範囲はこうなっています。

2-√3<=r1<=1

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

ん～, 「2つの球S1のS2体積の和」が何をいっているのかわからないのでなんとも....