合成関数の偏微分
前にも同じような質問をしたのですが、再度質問します。
実は、友人とラグランジュの運動方程式を議論していたときにでてきた素朴な
数式の書き方の疑問なのですが、大幅に簡略化して書きます。
私: f(x, y), g(s, t), h(s, t) と３個の関数がある。
合成関数 f(g(s,t), h(s, t)) を t で偏微分すると
∂f(g(s,t), h(s, t))/∂t = ∂f/∂g・∂g/∂t + ∂f/∂h・∂h/∂t
だ。
友人: g と h は関数なんだからそれで偏微分するのは変だろう・
私: こういう書き方は普通だと思うけど、
∂f(g(s,t), h(s, t))/∂t = ∂f/∂x・∂g/∂t + ∂f/∂y・∂h/∂t
でどうだ？
友人: 左辺だけど ∂f/∂t = 0 なんじゃないか？ f の独立変数に t はない。
私: f(g(s,t), h(s, t))は f, g, h の合成関数のつもりなんだがおかしいか？
友人: じゃあ、関数 ∂f(x、y)/∂t の x, y に g(s,t), h(s, t) を代入するのときはどう書くんだ？
私: うーん、(∂f/∂t)(g(s,t), h(s, t)) とかかな～。じゃーどう書けばいい？
友人: k(s, t) = f(g(s, t), h(s, t)) として
∂k(s, t)/∂t = ∂f/∂x・∂g/∂t + ∂f/∂y・∂h/∂t
でいいんじゃないか？
私: うーん正しいような気がするが、こんな書き方をしている本は一冊もないぞ。
∂f(g(s,t), h(s, t))/∂t と書いたら合成関数の偏微分でよかないか？
友人: ∂はあくまで f にかかると思うけどな～。入力引数は無関係だろ？
それに ∂f(g(s,t), h(s, t))/∂t と ∂f/∂t で解釈が違っていいのか？
以上です。結局決着がつきませんでした。どう書くのが「正しい」のでしょう？
補足
数十年ぶりに微分をやり始めたところですが、上の解き方がわからなくなったのでわかる人は、できるだけ初心者だと思い回答願います。