- ベストアンサー
合成関数の表記方法
（ｆ○ｇ）（ｘ） が ｆ（ｇ（ｘ））の意味とのことですが なんでわざわざ○でつないだ表記をするんですか？ ｆ（ｇ（ｘ））のほうが計算順が直感的にわかりやすいとおもうのですが。 （ｆ○ｇ○ｈ○i）（ｘ）と ｆ（ｇ（ｈ（ｉ（ｘ））））の文字数を比較しても １２文字と１３文字でさほど違わないですよね。
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数0
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
それは、むしろ f○g 「だけ」書きたい、という状況がよく出るからです。その場合、f(g(x))の表現の仕方だと、うまい書き方が見つからない。 一例を挙げると、空でない集合XからXへの全単射全体 S(X)は、写像（関数）の合成を『積』として群（と言われる数学的な構造）になります。これをX上の対称群といいます。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4 この時、S(X)の元は、SからSへの全単射、つまり写像（関数）であるわけですが、これを f とか gとかでいった感じで、一般の集合の元と同じような感じで表記します。この二つの元fとgの『積』は、先程も言った通りfとgの合成で定義する訳ですが、今f(x)とか g(x)とか書かずfとgだけ書いているので、その合成（積）は自然と f○gのような表記になります。いかにも『積』っぽい表現で書く訳です。 これを、f(g)とか仮に書いてしまうと、却ってわけがわからなくなってします。 こんなわけで、f○gという表記は、こういう表記を使いたい場面が多くあるのです。
その他の回答 (1)
- nihonsumire
- ベストアンサー率27% (823/3033)
回答になるかどうか判りませんが、数学ってどんな表記をしても、きちんと定義されてれば良いわけです。 個人的には、便利な方を使ってます。卑近な例だと、合成関数の性質で、交換法則や結合法則などｆ○ｇ式の方が分かりやすいです。 あなたがｆ（ｇ（ｈ（ｉ（ｘ））））方式の方が分かりやすいと思うならそれでいいと思いますよ。
関連するQ&A
- 合成関数の微分の証明
合成関数の微分の証明についての質問ですが、”やさしく学べる微分積分”には以下のような式変形を経て証明しています。 g(u+k)-g(u)/k = g'(u)+Ｏ(k) （lim k→0 Ｏ(k)=0） g(u+k)-g(u) = k｛g'(u)+Ｏ(k)｝ この式は、k=0のときも成立しkはどんな値でも良いため、 k=f(x+h)-f(x) とおけ、f(x+h)=f(x)+k,u=f(x) ゆえに、 lim g(f(x+h))-g(f(x))/h=lim g(f(x)+k)-g(f(x))/h =lim g(u+k)-g(u)/h=lim k｛g'(u)+Ｏ(k)｝/h =lim f(x+h)-f(x)/h ・k｛g'(u)+Ｏ(k)｝ f(x)は微分可能で連続。ゆえにh→0 k→0 したがって、極限値は存在し、 =f'(x)｛g'(u)+0｝=f'(x)g'(x) ゆえに、y'=g'(x)f'(x) が成立する。 とあります。 私には、結局はf(x+h)=f(x)+k と置けて、コーシーの平均値の定理のように、平均値の定理のx軸をf(x)軸つまりはu軸のように考えて、 f(x)=uの置き換えをすれば、f(x+h)=u+kとおけ、今までの微分計算と同様に計算できるというふうにしか読めません＾＾； でも、どうもg(u+k)-g(u) = k｛g'(u)+Ｏ(k)｝の式に 線形性なのかなんなのか、特別な関係を示す意味があるような気がするのですが、どなたか解説していただけませんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 合成関数の微分公式について
すいません。 なんども。 もうひとつおねがいします。 困っています。 u=f(x),y=g(u)がともに微分可能のとき, 合成関数も微分可能であり、土の式が成り立ちます。 y=g｛f(x)｝=g・f(x) dy/dx=dy/du・du/dx または y'=g'(u)・f'(x) これを、証明するには、 du/dx= lim f(x＋h)-f(x)/h , h→0 dｙ/du= lim g(u＋k)-g(u)/h h→0 ここで、k=f(x＋h)-f(x)とおくと、kキ0のとき dy/dx=[g(f(x))]' =lim g(f(x＋h))-g(f(x))/h まではわかるのですが、 =lim g｛f(x＋h)｝-g｛f(x)｝/｛f(x＋h)-f(x)｝ ・｛f(x＋h)-f(x)｝/h はどのうに現れるのでしょうか？ できれば、途中計算がほしいです。 お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- Voigt関数について
Voigt関数というのはGauss関数g(x)とLorentz関数f(x)の畳み込みを行ったものですが、 どの本を見ても、h(x)=∫(-∞,∞)g(ξ)・f(x-ξ)dξ としか書いてません。 h(x)の具体的な中身(積分計算を行った後の表記)を知りたいのですが、 ご存知の方いませんか？ 文献でも、webサイトでもいいので載っていれば教えてほしいのですが。 それともやっぱ自分で計算しなきゃだめですか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 合成関数について
先日、数IIIで合成関数について学びました。 名前を見たときある2つの関数を合成するんだなと思い話を聞いていると、 (g○f)(x)と(f○g)(x)という二つの合成の仕方があることがわかりました。 ここで質問なんですが、(g○f)(x)のときと(f○g)(x)のときでは何が違うのでしょう？ 2つとも同じ2つの関数を合成しているという点では変わらないのに、 なぜ合成後では関数が異なるのでしょう？ 後もうひとつ、合成関数とはどのようなときに用いるのでしょうか？ 問題集にはただ単に合成しているだけで具体的にどのような場面で使われているか知りたいです。 どなたか教えてください。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 合成関数の偏微分
前にも同じような質問をしたのですが、再度質問します。 実は、友人とラグランジュの運動方程式を議論していたときにでてきた素朴な 数式の書き方の疑問なのですが、大幅に簡略化して書きます。 私: f(x, y), g(s, t), h(s, t) と３個の関数がある。 合成関数 f(g(s,t), h(s, t)) を t で偏微分すると ∂f(g(s,t), h(s, t))/∂t = ∂f/∂g・∂g/∂t + ∂f/∂h・∂h/∂t だ。 友人: g と h は関数なんだからそれで偏微分するのは変だろう・ 私: こういう書き方は普通だと思うけど、 ∂f(g(s,t), h(s, t))/∂t = ∂f/∂x・∂g/∂t + ∂f/∂y・∂h/∂t でどうだ？ 友人: 左辺だけど ∂f/∂t = 0 なんじゃないか？ f の独立変数に t はない。 私: f(g(s,t), h(s, t))は f, g, h の合成関数のつもりなんだがおかしいか？ 友人: じゃあ、関数 ∂f(x、y)/∂t の x, y に g(s,t), h(s, t) を代入するのときはどう書くんだ？ 私: うーん、(∂f/∂t)(g(s,t), h(s, t)) とかかな～。じゃーどう書けばいい？ 友人: k(s, t) = f(g(s, t), h(s, t)) として ∂k(s, t)/∂t = ∂f/∂x・∂g/∂t + ∂f/∂y・∂h/∂t でいいんじゃないか？ 私: うーん正しいような気がするが、こんな書き方をしている本は一冊もないぞ。 ∂f(g(s,t), h(s, t))/∂t と書いたら合成関数の偏微分でよかないか？ 友人: ∂はあくまで f にかかると思うけどな～。入力引数は無関係だろ？ それに ∂f(g(s,t), h(s, t))/∂t と ∂f/∂t で解釈が違っていいのか？ 以上です。結局決着がつきませんでした。どう書くのが「正しい」のでしょう？
- 締切済み
- 数学・算数
- 合成関数の積分
こんにちは。積分法に関する質問です。 gが(a,b)において連続[a,b]において微分可能とし、g´(x)＞0で、fもgの値域においては連続とするとき ∫f(g(x))g´(x)dx(積分範囲はaからb)=∫f(y)dy(積分範囲はg(a)からg(b))が成り立つことを示し、(Fоg)´(x)を計算せよという問題です。((Fоg)は合成関数) 今ヒントが与えられていて g(a)≦y≦g(b)において F(y)= ∫f(t)dt(積分範囲はg(a)からy)と置く。とあるのですが、このヒントをどう使うのかが分かりません。 それと(Fоg)´(x)の計算もお手上げです。 どなたかヒントよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 【合成関数】の基本的な考え方について
独学で高校数学を勉強している者です。 いわゆる「合成関数」と呼ばれる式の計算過程が 理解できておりません（「微分」の項目で登場してきました）。 具体的には、下記の式を元にすると、 ｆ（ｘ） ＝ ｘ － ５ ｇ（ｘ） ＝ ２ｘ － ３ それぞれ ｆ（ｇ（ｘ））＝ｆ（２ｘ － ３）＝（２ｘ － ３）－ ５＝２ｘ－８ ｇ（ｆ（ｘ））＝ｇ（ｘ － ５）＝２＊（ｘ － ５）－ ３＝２ｘ－１３ となるようですが、理解できません。 そもそも、どのような考え方に基づいて、式が展開されているのでしょうか？ かなり基礎的な箇所でつまづいており、お恥ずかしいですが、 ご指導下さいますよう、宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 合成関数についての質問です．
合成関数についての質問です． f(x)=x^2,g(x)=√(x-1)の時、(f°g(x))を求めよという問題がありました． この場合(f°g(x))=x-1ということは理解できているのですが、この(f°g(x))の定義域を考える場合 g(x)の値域が合成関数(f°g(x))の定義域と習った記憶があるのですが、定義域はx>=1と答えにありました． 私の記憶が間違っていなければx>=0になると思っていたのですがこの考え方自体が間違っているのでしょうか？ 無理関数、分数関数等では考え方が違うのでしょうか？ どなたかご存知の方回答の方よろしくお願いします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
