- ベストアンサー
ラプラシアンの対象変化の理由
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
偏微分と積分順序の交換ですね。gが1変数関数として十分滑らかであるとすれば、 (∂/∂y)g(x+y)=(∂/∂x)g(x+y)=g'(x+y) であり、与えられた積分範囲（球面）付近で連続であればLebesgueの収束定理（あるいはもっと単純に重積分を利用して得られるC^1級の関数に対する微分と積分の順序交換定理）より求める変形が得られます。
関連するQ&A
- ナブラ ラプラシアン
ナブラは1階の偏微分演算子で、 ∇で表され、∇=（∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z）と理解しています。 ラプラシアンは2階の偏微分演算子で、 Δで表され、ナブラ同士の内積から、 Δ=∇・∇=（∂/∂x）^2+（∂/∂y）^2+（∂/∂z）^2 で表されると認識しています。 ここまでの認識は正しいでしょうか？ ナブラの定義についてですが、 ∇=（∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z）=ex（∂/∂x）+ey（∂/∂y）+ez（∂/∂z） ex，ey，ezは互いに直交する各方向への単位ベクトルである。 という記述がありました。 ナブラの定義ですが、 ∇=（∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z）=ex（∂/∂x）+ey（∂/∂y）+ez（∂/∂z） が正しいのでしょうか？ eは基底を表しているかと思いますが、なぜ基底を取る必要があるのでしょうか？ そしてなんで和で表されるのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 次のラプラシアンを使う問題がわかりません
次のスカラー場について△Φを求めよ 1)φ=log(x^2+y^2+z^2) 2)φ=1/√(x^2+y^2+z^2) △はラプラシアンです。 答えをみると (1)を(x^2+y^2+z^2)を他の変数に (2)√x^2+y^2+z^2を他の変数に置き換えて計算しています。 答えは(1)が2/(x^2+y^2+z^2) (2)が0になります。 過程を是非お願いします…
- 締切済み
- 数学・算数
- ポアソン方程式
ポアソン方程式 ポアソン方程式は、物理学上で「場」に関係する基礎式。 静電場や重力場などの物理的なベクトル場のポテンシャルを表す。 と認識しています（テキストそのままですが・・・）。 ポアソン方程式は、ラプラシアンを使って表すと Δφ(x, y, z) = f(x, y, z)です。 ナブラ、ラプラシアンについては前回の質問で理解出来ました。 ここで，φ(x, y, z)は未知関数またはスカラー関数と呼ばれています。 f(x, y, z)は導関数と呼ばれています。 なぜ、f(x, y, z)は導関数と呼ばれるのでしょうか？ 導関数とは，f(x, y, z)を微分した関数のことではないのでしょうか？ ポアソン方程式は、導関数から未知関数（スカラー関数）を求める 事が基本だと記載されていました。 ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ３次元波動方程式の解または伝搬速度について
1次元の波動方程式の一般解から、伝搬速度は求められる。 ところが３次元波動方程式には、私の知る限り、２つの特殊解 u=f(lx+my+nz-vt)+g(lx+my+nz+vt) (l^2+m^2+n^2=1) および u={ f(r-vt)+g(r+vt) }/r ( r=√(x^2+y^2+z^2) ) が求められるだけである。これらから、伝送速度はvと言えるのだが、 一般解が求められていないのに、本当に伝送速度v以外の解は ないと言えるのでしょうか? あるいは、なにか波動方程式の分析によって、速度の評価が されているのでしょうか? 教えてください。
- 締切済み
- 物理学
- 周回積分がわかりません・・・
ベクトルAがA=i(x-y)+j(x+y)のとき周回積分∫A・dsを求めよ。i、jはベクトル、dsのsは微少変位ベクトル。 積分路Cはy=2x^2とy=2xで囲まれる周回路とする。 ヒントが与えられていて、「グラフを書くとxに関して範囲がわかります。また、dxとdyの関係は・・・」というヒントです。 僕的には、xに関してだけではなくyに関しても範囲はわかると思うのですが、yの範囲は使わないのでしょうか？ 詳しい方、お教え願います。
- ベストアンサー
- 物理学
- ストークスの定理を確認する問題です
ベクトル場A=(x+zy,yx,y2+xz)中で、平面S:z = 3-3x-2yとx, y, z 軸の正の 部分とでできる閉曲面S を考える。このとき閉曲面Sの全ての辺における線積分の和 ∫A・dl とベクトルの回転の面積分∫(∇×A)・dS が等しいことを示せ。 一通り自力でやってみたのですが 回転の面積分のほうが27/8となり 線積分の和は9/8となり一致しませんでした どちらかは正しいと思うのですが違うほうの解方教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ナブラ ラプラシアン 勾配 発散 回転
勾配、発散、回転についてわからない点があるので 質問させて頂きます。 前回の質問で、 ∇=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）=ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z であることは理解できました。 また、Δに関しても、 Δ=∇・∇=（∂/∂x）^2+（∂/∂y）^2+（∂/∂z）^2 となることも理解できました。 ex,ey,ezは基底ベクトルを表します。 ここで、 勾配（grad）は、 スカラー関数をfとすると gradf=∇f=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）f=（ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂z）f となることは理解できます。 発散（div）は、 ベクトル関数をg=（gx，gy，gz）とすると、 divg=∇・g=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）・（gx，gy，gz） より計算され、 divg=∂/∂x（gx）+∂/∂y（gy）+∂/∂z（gz） となります。 ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂zを使って表す場合は どのようにすればよいのでしょうか？ 回転（rot）も同様に、 ベクトル関数をg=（gx，gy，gz）とすると、 rotg=∇×g=（∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z）×（gx，gy，gz） より計算され、 rotg=（∂/∂y（gz）-∂/∂z（gy）,∂/∂z（gx）-∂/∂x（gz）,∂/∂x（gy）-∂/∂y（gx）） となります。 ex∂/∂x+ey∂/∂y+ez∂/∂zを使って表す場合は どのようにすればよいのでしょうか？ また、行列式を使って添付画像のように表されますが なぜそのように表されるのか理解できません・・・ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分方程式の解の存在条件
次の積分方程式 ∫K(x, y)f(y)dy=g(x) の解が存在するための必要十分条件というのは知られているでしょうか？ 積分範囲やKの条件はある程度制約があってもよいです。 例えば、K(x, y)=K(y, x) あるいは半無限区間である等 背景としては、連立一次方程式Ax=yの解が存在するための必要十分条件は detA=0であることですが、 それを連続空間に拡張できるかどうかということに興味があります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分因子について
知恵袋でも質問したのですが、回答がこなかったのでこちらで質問します。 答えられる範囲でいいんで回答お願いします。 微分方程式の積分因子による解放について （x + (x^2 + y^2)x^3)dx + ydy = 0という微分方程式の積分因子を用いた解法について教えてください。 積分因子については、exp((1/2)x^4)ともとまったのですが、その後の計算がよくわかりません。 積分因子をかけることによって、完全微分方程式となって解がはじめて得られるようになると思うので、 積分因子をかけました。 exp((1/2)x^4)(x+(x^2+y^2)x^3)dx+exp((1/2)x^4)ydy となったのですが、ここから分かりません。 詳しく回答教えていただけるとありがたいです。 それから、完全微分方程式という用語についてなのですが、この完全ってどういう意味なんでしょうか？ 完全というのは、解が得られるという意味なのでしょうか？ 最初の式ってのは、解が得られないのでしょうか？ ですが、積分因子を用いることによって解が得られるのでしょうか？ よく完全微分方程式は、du=pdx+qdyみたいな形で示されますが、よくこの式の意味するところがわかりません。 u(x,y)という二つの変数をもった関数があったとする。 その関数をxについて偏微分したものが、pを表しているのでしょうか？ pはdu(x,y)/dxというのが省略されてpとかいているだけなのでしょうか？ 多変数関数、偏微分についてもくわしく勉強したことがなく、いきなり微分方程式を独学で勉強しているので、謝った考えた方をしている可能性もあり、きちんと理解しておきたいので、よろしくお願いします。 できれば詳しく解説してくださるとありがたいです
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございました。