東大みたいな問題です。

質問

ｆ(0)=0^2、ｆ(1)=1^2、ｆ(2)=2^2、f(3)=3^2、f(4)=4^2
をみたすが、ｆ(x)=x^2ではないxの多項式ｆ(x)をひとつ求めよ。

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こんな問題見たことありません。
類題を知っている方、いましたら答えと一緒にお願いします(。。)

回答No.4

WiredLogic · ベストアンサー

う～ん、入試で出たら、焦りそうなタイプの問題ですねぇ。
類題自体は、数値変えれはいくらでも作れます。

#1さんの回答は、多項式でないので、この問題の答としては、正解とは言えませんが、面白いですねぇ。問題の条件にこだわってしまって、自分で思いつけなかったのがちょっと悔しいかも^^

＞ｆ(0)=0^2、ｆ(1)=1^2、ｆ(2)=2^2、f(3)=3^2、f(4)=4^2
＞をみたすが、ｆ(x)=x^2ではないxの多項式ｆ(x)をひとつ求めよ。

自分流で、カッコいい方の解法(答案として書くなら、乱暴^^なので、表現は変えますが)は、

xに、0,1,2,3,4のどれを入れても0になる多項式を見つければ、
それとx^2を足したものが答になるのは、当たり前、
だから、x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x^2、

#2さんは、答だけですが、#3の解法は、受験数学(東大)っぽくていいですね(私のは、やや京大っぽい？^^)。ただ、最初から、１つだけ出せばいいことを意識した方が、解りやすい答案になりそうです。

ただし、模範解答は、この方向しかない、なんて考えるのは、こういうパターンを発見しない限り、問題は解けない、と考える、ある意味、敗北思考^^です。

普通にやっても、多少手順が必要ですが、普通に解けてしまう、どちらかというと、易しい問題になります。難問に見えてしまうとすれば、#3さんや上のような解法がすべてと考えてしまうから、ではないかと。

この問題を見れば、やるべきこと、というより、自分ですぐにできること、
これは、ハッキリしている、というより、限られている、
その方向で、まずは話を進めみる、それで答が出てしまえば、ＯＫ。
ダメなら、また別のことを考えればいいのです。実際割と簡単に出ます。

私が問題集にこの問題を入れるなら、下の解法が「模範解答」、上の解法は、その「別解」にします。

＞ｆ(0)=0^2、ｆ(1)=1^2、ｆ(2)=2^2、f(3)=3^2、f(4)=4^2
＞をみたすが、ｆ(x)=x^2ではないxの多項式ｆ(x)をひとつ求めよ。

最初、すぐに解るのは、f(0) = 0 だから、f(x)は、xの倍数じゃないと、ということ、
よって、f(x) = x*g(x) (g(x)は多項式) とおける。

次に、1 = f(1) = 1*g(1) だから、g(1) = 1、
g(x) = (x-1)*h(x) + 1 (h(x)は多項式) のように表せれば、この条件を満たす、
(基本的に、x(x-1)…(x-4)+x^2を思いつくのと同じ発想ですが、考える範囲が狭い分、こちらの方がパターン知らなくても、圧倒的に思いつきやすいはず。最高にうまく行けば、これをキッカケに、#3や上のような解法が思いつけるしれませんが、それをアテにしなくても、後は一直線です)
すると、f(x) = x{(x-1)h(x) + 1} = x(x-1)h(x) + x、

次に、4 = f(2) = 2(2-1)h(2) + 2 = 2*h(2) + 2 だから、h(2)=1、
h(x) = (x-2)p(x) + 1 (p(x)は多項式) のように表せれば、この条件を満たす、
すると、f(x) = x(x-1){(x-2)p(x) + 1} + x = x(x-1)(x-2)p(x) + x(x-1) + x

次に、9 = f(3) = 3(3-1)(3-2)p(3) + 3(3-1) + 3 = 6*p(3) + 9だから、p(3)=0、
p(x) = (x-3)q(x) (q(x)は多項式) と表せれば、この条件を満たす、
すると、f(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)q(x) + x(x-1) + x

最後に、16 = f(4) = 4(4-1)(4-2)(4-3)q(4) + 4(4-1) + 4 = 24*q(4) + 16だから、q(4)=0、
q(x)=0はこの条件を満たすが、f(x) = x(x-1) + x = x^2 となり、仮定に反する、
q(x)=x-4はこの条件を満たす。このとき、
f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x(x-1) + x = x{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + (x-1) + 1}
= x{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x} = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x^2、

思いつき０で、ではないにせよ、意外に、普通の手順を踏めばできるでしょ？

また、裏ワザとして、この形が、計算用紙で、出せたとき、結果の形をよく見ると、上の解法が思いつけるときもあるでしょう、そうしたら、答案用紙には、そっちを書く、というのがあります。学校の試験とかなら、ここまで出せていれば、先生が後の説明で、カッコいい路線を教えてくれたとき、すぐに理解して、自分のものにできるでしょう。

参考書や問題集で、学校や塾で、先生のカッコいい解法を見て、自分にはできない、なぜ思いつけるんだろう、あぁ、俺ってダメな奴、なんて思うことがあるかもしれませんが、そういう先生たちも、結構、こういうステップを経てきたりしているんです。結果的に、解るようになれば、気にすることはありません。

特に、似たようなパターンがあまりない問題だと、思いつければ、ラッキーだけど、確実を狙えば、地道に、できることをできるだけやって、何とかなる範囲で何とかする姿勢の方が大事。完全に最後まで進めないときも、中間点は期待できるし。

お礼

難しい問題も分かる範囲から攻めていけば、必然性が見えてくるというような
問題の答以上に大きなことを学びました。地道にがんばり続けたいと思います。

ありがとうございます(。。)

回答No.3

quadlike

東大だと90年(理)第2問(1)が近いですね。

こういう問題では、与えられた条件に着目して
　g(x)＝f(x)-x^2
と新しい関数 g(x) を定義するのが定石です。そうすると条件
　ｆ(0)＝0^2、ｆ(1)＝1^2、ｆ(2)＝2^2、f(3)＝3^2、f(4)＝4^2
はg(x)を用いて簡単に
　g(0)＝g(1)＝g(2)＝g(3)＝g(4)＝0
と表せます。ここから g(x) は
　g(x)＝ax(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)*(適当な多項式)
という形をしていることがわかります。今、ｆ(x)≠x^2 より a≠0 です。

多項式の次数を指定していないので g(x) の形は無限にありますが、
例えば、g(x)が x^5の係数が1の5次の多項式とすると、a＝1 より
　g(x)＝x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
です。従って f(x) は
　f(x)＝g(x)＋x^2＝x^5-10x^4+35x^3-49x^2+24x
と求まります。

お礼

論理的で分かりやすいです。ありがとうございます(。。)

回答No.2

Ginzang

例えば、
f(x) = x^2 + x (x-1) (x-2) (x-3) (x-4)
ならばどうか。

お礼

よく分かりました！

補足

どのように導いたのか
気になります(。。)

回答No.1

kumada-

少しずるいかもしれませんが、

f(x)＝x^2cos(πx^2)

とかでは、ダメでしょうか？

お礼

多分ダメだと思うけど題意は満たしてますね(笑)

本番だったら何点かくれるかも(笑)

ありがとうございます(。。)