線形台数の問題です。

質問

(1)２直線L1:(x-a1)/l1=(y-b1)/m1=(z-c1)/n1とL2:(x-a2)/l2=(y-b2)/m2=(z-c2)/n2との距離hは、
A1(a1,b1,c1),A2(a2,b2,c2),l1↑=(l1,m1,n1),l2↑=(l2,m2,n2)とすると、
h=|(l1↑×l2↑,A1A2↑)|/|l1×l2|
であることを示せ。

(2)a↑=(1,2,3),b↑=(1,-3,2)を２辺とする平行四辺形の面積と単位法線ベクトルを求めよ。

という２つの問題です。
(2)は外積を使うのかな？と思いました。

すみませんが、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

(1)
直線L1上の点P1と
直線L2上の点P2で
h=|P2-P1|が最小となるとすると
P2-P1はL1とL2の両方に垂直で
l1↑×l2↑と平行だから
|(l1↑×l2↑,P2-P1)|=|l1↑×l2↑||P2-P1|=h|l1↑×l2↑|
h=|(l1↑×l2↑,P2-P1)|/|l1↑×l2↑|

(l1↑×l2↑,P1-A1)=0
(l1↑×l2↑,P2-A2)=0
だから
(l1↑×l2↑,P1)=(l1↑×l2↑,A1)
(l1↑×l2↑,P2)=(l1↑×l2↑,A2)
↓
(l1↑×l2↑,P2-P1)
=(l1↑×l2↑,P2)-(l1↑×l2↑,P1)
=(l1↑×l2↑,A2)-(l1↑×l2↑,A1)
=(l1↑×l2↑,A2-A1)
∴
h=|(l1↑×l2↑,A1-A2)|/|l1↑×l2↑|

(2)
a↑=(1,2,3)
b↑=(1,-3,2)
a↑×b↑=
(|2,3.|,|3,1|,|1,2.|)
(|-3,2|,|2,1|,|1,-3|)
=(13,1,-5)
∴平行四辺形の面積は
|a↑×b↑|=√(13^2+1+25)=√195
単位法線ベクトルは
a↑×b↑/|a↑×b↑|=(13,1,-5)/√195
=(√(13/15),1/√195,-√(5/39))