放物線の問題です。

質問

放物線の問題です。
放物線　ｙ=ｘ＾２　上に、２点A（ a , a^2）　B（－１ , 1）がある。ただし a > 0とする。
四角形OACB（原点Oとする）が平行四辺形となるようにCをとる。
このとき y= 4x＋ 1/2　が平行四辺形OACBの面積を２等分するとき点Aの座標を求めなさい。
と問題がなっていますが、どのように考えていいかまったく分かりません。
どのように考えればいいですか？

回答No.1

Mr_Holland

(A)　点Cの座標を求める。
　四角形OACBは平行四辺形ですので、AC=OB, AC∥OB
　従って、点Cは点Aをx軸正の方向に-1だけ、y軸正の方向に+1だけ平行移動した点ですので、点Cの座標は次のようになります。

　　点C(a-1,a^2+1)

(B)　平行四辺形OACBの重心Gを求める。
　平行四辺形の面積を2等分する直線は、その平行四辺形の重心（対角線の交点、対角線の中点）を通りますので、その点Gの座標を求めます。
　ベクトルOG=(1/2)ベクトルOC　ですので、点Gの座標は次のようになります。

　　点G( (a-1)/2, (a^2+1)/2 )

(C)　直線y= 4x＋ 1/2の方程式に　点Gの座標を代入する。
　直線y= 4x＋ 1/2　は点Gを通りますので、次の式が成り立ちます。
　　(a^2+1)/2=4×(a-1)/2 +1/2
　⇔(a-2)^2=0
　∴a=2

　以上のことから、点Aの座標は次のようになります。

　　点A(2,4)