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生成元の求め方
OurSQLの回答
M = Z2 + Z2 = Z2 × Z2 = { (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) } の部分集合のうち、元の個数が 1 のものは生成系になれませんが、そのことは理解できますよね。 で、M の部分集合のうち、元の個数が 2 であるものを考えます。 それらのうちで (0, 0) を元に持つものは、元の個数が 1 である部分集合と実質的に変わらないので、生成系になれません。 (0, 0) を元に持たなければ、生成系になっていることを確認してみます。 A = { (0, 1), (1, 1) } が生成系であるなら、M の任意の元は (0, 1) と (1, 1) の線形結合として表せるはずです。 実際、 (0, 0) = 0(0, 1) + 0(1, 1) (0, 1) = 1(0, 1) + 0(1, 1) (1, 0) = 1(0, 1) + 1(1, 1) (1, 1) = 0(0, 1) + 1(1, 1) となりますから、A = { (0, 1), (1, 1) } は確かに M の生成系になっています。 さらに、S ⊂ A を満たす M の部分集合 S で、M の生成系になるものは存在しません（ここで S ⊂ A は、S が A の真部分集合であることを表すとします）。 よって、A は M の極小生成系であることが確認できました。 同じようにして、B = { (0, 1), (1, 0) } と C = { (1, 0), (1, 1) } も M の極小生成系であることを、御自身で確認なさってください。 D = { (0, 0), (0, 1), (1, 1) } や E = { (0, 1), (1, 0), (1, 1) } なども M の生成系ですが、極小生成系にはなっていません。
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