- 締切済み
モジュラー群の生成
命題 モジュラー群SL(2、Z)は、二つの元S=( 0 1 )とT=(1 1)から生成される。 (-1 0 ) (0 1) この命題はSとTの生成する部分群をHとし、H=SL(2、Z)を示せばいいですが、 定義からH⊂SL(2、Z)はすぐにわかりますが、SL(2、Z)⊂Hがうまく示せません。 お手数掛けますが、SL(2、Z)⊂Hの詳細な証明お願いします。
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 群の生成についての問題
命題 SL(2、R)(実特殊線形群)は T= ( 0 1 ) および {S(x)= ( 1 x ) ;x∈R} (-1 0 ) (0 1) から生成される。 証明 TとS(x)たちの生成する部分群をHとし、H=SL(2、R)を示す。 SL(2、R)の任意の元A= (a b) を考える。 (c d) もしd=0ならc=-(b^-1)で TA= (-b^-1 0) (-a -b ) もしd≠0なら A= (1 bd^-1)*(a-bcd^-1 0) = SL(bd^-1)*(d^-1 0) (0 1 ) ( c d ) (c d) したがって、(a 0 )の形の行列がHに属することを示せばよい。 (x a^-1) まず、 (1 0)=T^-1*S(-x)*T∈H (x 1) に注意する。 (a 0 )=(1 a-1)*(1 0 )*(1 a^-1-1)*( 1 0 ) ∈H (0 a^-1) (0 1 ) (1 1) ( 0 1 ) (-a 1 ) (a 0 ) = (1 0 ) * (a 0 )∈H (x a^-1) (a^-1x 1) (0 a^-1) となるから、SL(2、R)の任意の元はHに属し、H=SL(2、R)。 この証明でわからない点がふたつほどあります。 ひとつめはなぜd=0 とd≠0で場合分けしているのか。 ふたつめは(a 0 )がHに属していることで、SL(2、R)の任意の元はHに属することになるのか。 (x a^-1) 詳細のほどよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 群Gの部分集合Mによって生成されるGの部分群
定理 群Gの部分集合Mによって生成される部分群H=〈M〉はMを含むGの部分群のうち最小なものである。 証明 H⊃MであることはHの定義より明らかである。また、Mを含むGの任意の部分群をUとすれば、Mの元のべき積はすべてUに含まれ、H⊂Uを得る。したがって、HはMを含む最小な部分群である。 (1)なぜMの元のべき積で表される元の全体Hは明らかにGの部分群なんでしょうか。 例えばもし部分集合Mに単位元、逆元がなかったらHは部分群にならないように思えます。 (2)証明の2文目までは理解できましたが、 「したがって」以降、つまり3文目が理解できません。H⊂UからなぜHが最小だと言えるのでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 巡回群の生成元について
お世話になります。よろしくお願いします。 「加法群Z、整数n≧0の時 商群Z/nZは、1を含む剰余類によって生成される位数nの有限巡回群である。(代数系入門 松坂和夫著 p.78)」 とあるのですが、 商群Z/nZの1を含む剰余類は{1,1±n,1±2n,・・・}、 2を含む剰余類は{2,2±n,2±2n,・・・}であり、 1を含む剰余類{1,1±n,1±2n,・・・}を ある整数kでk倍しても2を含む剰余類{2,2±n,2±2n,・・・} にはならないと思うので、 全ての元が生成元aの整数k倍で表される(加法の場合)という巡回群の定義に合わず、 「商群Z/nZは、1を含む剰余類によって生成される」というのがおかしいとおもうのですが、どうでしょうか? どなたか私の考えの間違いをご指摘ください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2元生成の自由群は可算か?
2元生成の自由群は可算か? バナッハタルスキーのパラドックスを本で読んで証明を追っています。 その途中、2元から生成された自由群(と同型な群)は可算であるから…、との表記が証明なしにありました。 これは正しいですか? 対角線論法と同じように以下のように考えました。 生成元をh,kとしたとき、可算濃度と仮定すると全ての元を e h k hh hk … と順番に並べることができます。 i番目の元のi文字目がhならk、何もない場合やkならh(i=1,2,…)と定めてできたものはすべての元と異なるので矛盾するように思うのですが… あるいは、可算の長さである元について、その選び方は2^(可算無限)となり、全体としても連続濃度になってしまうと思います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 部分群であることの証明
部分群であることの証明 Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a~b⇔ab^(-1)∈H」なる~ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群であることを証明してほしいです。 部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、 同値関係の定義については理解しています。 ですが証明文を書くことができず、困っています。 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 至急お願いします。代数学の問題です。
(1)(1+240Σ_(n=1,∞)σ3(n)・q^n)^3 - (1-504Σ_(n=1,∞) σ5(n)・q^n)^2 =(1+240X)^3 - (1-504Y)^2 ≡2^4・3^2・(5X+7Y) (mod12^3) これより、5・σ3(n)+7・σ5(n)≡0 (mod4) と≡0 (mod3) を証明せよ。 定義 Γ ⊂ SL2(R) が合同部分群 ⇔ ∃n ∈ N s.t. Γ(n) ⊆ Γ ⊆ SL2(Z) SL2(Z)=Γ(1) (level1) (2)SL2(Z) / Γ(n) = SL2(Z/NZ) を証明せよ。 (3)(2)の位数が(N^3)・Π_(P|n) (1-1/(P^2))となることを証明せよ。 よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数