中学３年の図形の体積の難問

質問

中学生の息子に聞かれて回答できす困っています。

---- 問題 ここから ----:

座標(0,0,0)-(6,0,3)-(6,6,0)-(0,6,6) の
４点からなる４面体の体積を求めよ。

答え: 54

---- 問題 ここまで ----:

線形代数を使えば、(6,0,3),(6,6,0),(0,6,6)
の３個のベクトルからなる行列の行列式
(平行６面体の体積)の1/6 が四面体の
体積なので 54 はすぐに出てきますが、
中学生向きの解を思いつきませんでした。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

座標(0,0,0)-(6,0,3)-(6,6,0)-(0,6,6) の
４点からなる４面体の体積を求めよ。

Ｏ(0,0,0)，Ａ(6,0,3)，Ｂ(6,6,0)，Ｃ(0,6,6) とする
ｘｙｚの座標軸で原点をＯとし、１辺が６の立方体を考えました。ｘｙ平面（立方体の底面）上で原点Ｏの対角線上にＢ、Ｂの左側をＡ，右側をＣとしました。（Ｂが手前にくる）

四面体は、１辺が６ルート２の正三角形ＣＯＢ、
等辺ＡＢ＝ＡＯ＝３ルート５の二等辺三角形ＡＯＢ、
三辺が、ＣＡ＝９，６ルート２，３ルート５の△ＣＯＡ，△ＣＢＡ
の四面からできています。

長さは、以下のように求めました。
正三角形の１辺＝１辺６の正方形の対角線＝６ルート２
等辺ＡＢ＝ＡＯ＝ルート（６^2＋３^2）＝３ルート５
ＣＡ＝ルート（６^2＋（３ルート５）^2）＝９

ＣからＯＢ、ＡからＯＢへ垂線を引き共通の交点をＨとする。
ＣＨは正三角形ＣＯＢの高さだから、ＣＨ＝３ルート２×ルート３＝３ルート６
ＡＨは二等辺三角形ＡＯＢの高さだから、
ＡＨ＝ルート（（３ルート５）^2－（３ルート２）^2）＝３ルート３

△ＣＡＨは直角三角形です。
ＣＨ^2＋ＡＨ^2＝（３ルート６）^2＋（３ルート３）^2＝３^2＝ＣＡ^2より、
三平方の定理が成り立つから、角ＣＨＡ＝９０度

この四面体の底面を二等辺三角形ＡＯＢ，高さをＣＨとみると、
四面体の体積＝二等辺三角形ＡＯＢの面積×ＣＨ×（１／３）
　　　　　　＝６ルート２×３ルート３×（１／２）×３ルート６×（１／３）
　　　　　　＝５４　

のようになりました。

お礼

三角形OAB と OBC が垂直だということには
全く気付いていませんでした。
なるほど、ここまでわかれば
計算は簡単ですね。

ありがとうございました。

回答No.2

nag0720

この四面体は立方体から次の６つの三角錐を切り取ったものになっています。
(0,0,0)-(6,6,0)-(6,0,0)-(6,0,3)
(0,0,0)-(6,6,0)-(0,6,0)-(0,6,6)
(0,0,0)-(0,6,6)-(6,0,3)-(0,0,6)
(6,6,0)-(0,6,6)-(6,0,3)-(6,6,6)
(0,6,6)-(6,0,6)-(6,0,3)-(0,6,6)
(0,6,6)-(6,0,6)-(6,0,3)-(6,6,6)

または、比を使って、
(0,0,0)-(6,6,0)-(0,6,6)-(6,0,0)の体積は、36
(0,0,0)-(6,6,0)-(0,6,6)-(6,0,6)の体積は、72
(0,0,0)-(6,6,0)-(0,6,6)を底面とする三角錐を考えれば、
(0,0,0)-(6,6,0)-(0,6,6)-(6,0,3)はその中間なので、54

または、
三角形(3,3,0)-(6,0,3)-(0,6,6)を底面とする高さ3√2の三角錐が２つあると考えてもいいでしょう。

お礼

なるほど。6個の三角錐を除けばよいのですね。

立方体から余分な立体を除くのだろうということは
すぐにわかったのですが、2個の三角錐はすぐに
特定できたものの、残りがなかなか把握できませんでした。

ご回答いただいた三角錐を元によく考えたら、
(6,0,0)-(0,6,0)を通り、z軸に平行な面で立方体を
切ると(つまり補助面を入れると)、考えやすいことに
気づきました。

ありがとうございました。

しかし、息子への説明が大変そうです(^^;

回答No.1

Tacosan

いろいろやりかたはありそう. 例えば, y座標を高さ方向にとって
底面が (0, 0, 0), (6, 0, 0), (0, 0, 6), (6, 0, 3) からなる台形で高さ 6
という立体から不要な部分を削ってもできそうだし.