曲線の接線

質問

y=logx
という曲線があるとします。
これの接線は勿論y'なのですが、
原点を通るものの方程式を知りたいんです。
しかし、どうやって求めていくのでしょうか？
（0,0）を代入するわけにもいかないし・・。
宜しくお願いします。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

kaoruryoujiさん、こんにちは。

＞y=logx

y=log[e]x
ということで考えますね。

dy/dx=(log[e]x)'=1/x

なので、接点の座標を(x1,y1)とすると
接点における接線の傾きは1/x1である。

点(x1,y1)をとおり、傾き1/x1であるような接線の方程式は

y-y1=(1/x1)*(x-x1)
これが原点を通ることから、(x,y)=(0,0)を代入して

0-y1=(1/x1)(-x1)=-1
ゆえに、y1=1
このとき、
y1=log[e]x1であるから
1=log[e]x1
x1=e
よって、点(e,1)が接点で、この点を通ります。

ゆえに、原点(0,0)と(e,1)を通るということなので

y=x/e
(e:2.7818...)
でいいのではないでしょうか。

補足

＞点(x1,y1)をとおり、傾き1/x1であるような接線の方程式は

＞y-y1=(1/x1)*(x-x1)

とありますが、なぜこのような方程式になるのですか？すみません、説明をお願いします。

回答No.2

kony0

＞点(x1,y1)をとおり、傾き1/x1であるような接線の方程式は
＞y-y1=(1/x1)*(x-x1)

これはもはや「公式」を超えて「直線の式の定義の１形態」と言ってもよいものですが・・・

傾きm、点(a,b)を通る直線の式は
とりあえずy切片わからないのでこれをnと置いた直線の式y=mx+nに対して、
(a,b)を通るので代入するとb=ma+n→n=b-ma
したがって、直線の式はy=mx+(b-ma)→(y-b)=m(x-a)

お礼

そういうことでしたかｗ
すみませんでした、つい何か公式なのかと(^_^;)
ありがとうございます