Σ（n=1~∞) (1/n^3) < 4/3 証明

質問

Σ（n=1~∞) (1/n^3) < 4/3　

である証明について教えて頂きたいです

ヒントとして積分を用いることでしたが・・・　何を積分するかすらはっきりしないです

回答No.7

stomachman · ベストアンサー

いやはや、だいぶボケてました。ANo.4の間違いの訂正をやります。
　えーと、要するに
　　Σ{n=1～∞}(1/(n^m)) = ζ(m)　　（ζはリーマンのゼータ関数）
を思い出しておけば良かったんです。そうすりゃ、ζ(m)ってのはなんか一筋縄ではいかないやつだっけ、ってことも思い出せたはず。すなわち、
　　ζ(m) =　Σ{n=1～∞}(1/(n^m)) = (1/(m-1)!) ∫[0～∞](x^(m-1))/(exp(x)-1) dx
これをきれいに計算するのは、mが奇数の場合には無理なんでした。
　ちなみに、ζ(2)=(π^2)/6, ζ(4)=(π^4)/90, … はフーリエ変換を利用すると計算できます。 http://okwave.jp/qa/q4003551.html でやったの、すっかり忘れてました。たはは…。

　さて、じゃどうするかというと、やっぱりこれはANo.1, ANo.3の御回答にある通りのやり方が素直だと思います。

　m＞0のとき、x＞0では(1/(x^m))＞0が単調減少であることから、
「任意の N＞1について、
　　∀n( n≧N → ∫{x=n-1～n}(1/(x^m)) dx ＞ 1/(n^m) ＞ ∫{x=n～n+1}(1/(x^m)) dx )
である」
と挟み打ちできる。もちろん、グラフを描いてみりゃ自明です。数値計算にはこれが使えます。（実際に挟み打ちで計算してみますと ζ(3) = 1.20205... というような値です。）
　ですが、この場合は上界だけ分かればいいのだから、
　　 ∫{x=N-1～∞}1/(x^3)) dx ＞ Σ{n=N～∞}(1/(n^3))
すなわち
　　(1/2)(1/((N-1)^2))+Σ{n=1～N-1}(1/(n^3))＞ Σ{n=1～∞}(1/(n^3))=ζ(3)
N=2だと　1/2+1=3/2＞ ζ(3)
N=3なら　1/8+(1+1/8) = 5/4 ＞ ζ(3)
4/3 > 5/4 だから、ここまでで十分。

お礼

本当にありがとうございました　非常にわかりやすかったです

回答No.8

nag0720

参考までに、積分を使わない別の方法を。

n^3＞n^3-n＝n(n-1)(n+1)
だから、
1/n^3＜1/{n(n-1)(n+1)}
右辺を部分分数分解して
1/n^3＜(1/2){1/(n-1) - 2/n + 1/(n+1)}

Σ(n=1~∞) (1/n^3)
＝1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+1/5^3+1/6^3+・・・・・
＜1+1/8+1/(2*3*4)+1/(3*4*5)+1/(4*5*6)+1/(5*6*7)+・・・・・
＝1+1/8+(1/2){(1/2-2/3+1/4)+(1/3-2/4+1/5)+(1/4-2/5+1/6)+(1/5-2/6+1/7)+・・・・・}
＝1+1/8+(1/2)(1/2-2/3+1/3)
＝1+1/8+1/12
＝29/24＜4/3

回答No.6

stomachman

> 右辺の等比級数の解がよくわからなくて

うわ。x^(n^3)じゃ等比級数になってないですね！
ANo.4は間違い。…こりゃポカミスです。すんません。

補足

そうなるとANo3あたりの式を用いると一番良さそうですかね・・・

回答No.5

noname#152422

ちなみに、積分を使わない方法

左辺
=1+{((1/2)^3)+((1/3)^3)}+{((1/4)^3)+…+((1/7)^3)}+…+{(((1/2^k)^3)+…+(((1/(2^(k+1))-1)^3)}+…
<1+(1/2^3)×2+(1/4^3)×4+…+(1/2^(3k))×(2^k)+…
=1+(1/2^2)+(1/4^4)+…+1/2^(2k)+…
=1/(1-1/4)
=4/3

（質問の趣旨と外れるので参考まで）

回答No.4

stomachman

F(x) = Σ（n=1~∞) (1/(n^3))(x^(n^3))
をxで微分すると
　　f(x) = Σ（n=1~∞) (x^((n^3)-1))
であり、右辺は等比級数ですから、f(x)は簡単な式で表せますね。そのf(x)をxで積分するとF(x)が得られます。そして、F(1)はご質問の式にある総和に他ならない。
　こういう仕掛けになってる関数f(x)を級数の「母関数」っていうんです。

　F(1)＜4/3 ということを示すだけなら必ずしも総和を計算しなくても済むわけで、「積分を用いる」というヒントの意味はANo.1のおっしゃる通りのような気もしますが、ま、ご参考まで。

お礼

ありがとうございます。　自分もf(x) = Σ（n=1~∞) (x^((n^3)-1))
式までは実はたどり着いていたんですがその右辺の等比級数の解がよくわからなくて悩んでたりしてて・・・これの計算がうまくできないせいでこれがこのｆ(x)は使わないと思ってました。

回答No.3

nag0720

y=1/x^3 のグラフを描けば分かると思いますが、

Σ(n=1~∞) (1/n^3)＜1+∫[1→∞]1/x^3 dx
Σ(n=1~∞) (1/n^3)＜1+1/2^3+∫[2→∞]1/x^3 dx
Σ(n=1~∞) (1/n^3)＜1+1/2^3+1/3^3+∫[3→∞]1/x^3 dx
Σ(n=1~∞) (1/n^3)＜1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+∫[4→∞]1/x^3 dx

などが成り立ちます。

１番目の式ではダメですが、２番目以降だったら大丈夫でしょう。

お礼

ありがとうございます。　何故、　
Σ(n=1~∞) (1/n^3)＜1+∫[1→∞]1/x^3 dx　
の大小関係が上のようにできるのかそれが不思議ですが・・・

回答No.2

hrsmmhr

それだと3/2ですね？
1/n＾4ではないですか？

お礼

ありがとうございました。　しかし、出題されたものは4/3でした

回答No.1

hrsmmhr

1/1＾1*1以外の1/n＾3*1の短冊をうまくならべると
∫［1→∞］1/x＾3dxの中に入ると思います