高校数学 数学的帰納法です

質問

画像の下線部がどのような計算をして出てきたのかが分かりません。
どなたか回答よろしくお願い致します。

回答No.2

banakona · ベストアンサー

写真がみにくいのですが、下線部は
　２（ｋ＋１）／｛（ｋ＋１）＋１｝
ですか？
だとすれば、これは一番上の式の右辺　２ｎ／（ｎ＋１）のｎにｋ＋１を代入したものです。

数学的帰納法なので、ｎ＝１のときに成立することをまず示し、次にｎ＝ｋのときに成り立つならば、
ｎ＝ｋ＋１のときも成り立つことを示す。だから、とりあえず目指したいのは、一番上の式のｎにｋ＋１を代入したもの、つまり

　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｋ＋１）≧２（ｋ＋１）／｛（ｋ＋１）＋１｝　・・・Ａ

です。これの右辺です。

この前の段階で、ｎ＝ｋのときの

　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／ｋ≧２ｋ／（ｋ＋１）

の両辺に１／（ｋ＋１）を加えたので、

　１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｋ＋１）≧２ｋ／（ｋ＋１）＋１／（ｋ＋１）　・・・Ｂ

となり、Ａの左辺が完成。
あとはＢの右辺が　２（ｋ＋１）／｛（ｋ＋１）＋１｝以上であることを示せばいい。

そこで、Ｂの右辺からＡの右辺を引いた

　２ｋ／（ｋ＋１）＋１／（ｋ＋１）－　２（ｋ＋１）／｛（ｋ＋１）＋１｝

を作り、これが０以上になることを示そうとしている。

お礼

助かりました。
ありがとうございました。