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電磁気学

こんにちは 以下の問題がわからなくて困っています わかる方教えていただけないでしょうか? 原子核を半径Rの球として、陽子の電荷eは核内に一様に分布しているものとする。 原子番号Zの核の中心からr(r<R)なる点の静電ポテンシャルは Ze/εV × (R2/2 - r2/6) で与えられることを示し、また原子核のCoulombエネルギーは We = 1/4πε × 3/5 × (Ze)2/R で与えられることを示せ。 ただし、Vは原子核の体積である。 よろしくお願いします。

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こんばんは。 とりあえずガウスの法則で解いてみましょう。 まずは電場を求めます。 原子核のつくる電場は球対称と見なせますから、 電場は中心からの距離 r のみの関数 E(r)となります。 また、原子核の内部と外部で電場の関数形が違いますから、 場合分けが必要です。 下準備として、電荷密度 ρ [C/m3] を定義しておきましょうか。  (1)  ρ = Ze / V 【原子核内部】 半径 r の球内に分布した電荷が作る電場 (E内) を考えます。 ガウスの法則に従えば、  (2)  ∫ (E内)・dS = (1/ε) ∫ ρdV となりますが、この球面内では (E内) は定数と見なせますし、 電荷密度 ρ も定数ですから、ほとんど積分はいりません。  (3)  (左辺) = ∫ (E内)・ds = (E内) ∫ ds = (E内)*(4πr2)  (4)  (右辺) = (1/ε) ∫ ρdV         = (ρ/ε) ∫ dV         = (Ze/εV) (4/3) πr3 ですね。 では原子核内部の電場 (E内) を求めましょう。  (5)  (E内)*(4πr2) = (Ze/εV) (4/3) πr3       ⇔ (E内) = (Ze/3εV) r 【原子核外部】 外部では、電荷は常に半径 R の球内に一様分布しています。 つまり、(2)式の右辺だけがほんのちょっと変わります。  (6)  (右辺) = (Ze/εV) (4/3) πR3 r が R に変わっただけですね。 では(3)式と(6)式から原子核外部の電場 (E外) を求めましょう。  (7)  (E外)*(4πr2) = (Ze/εV) (4/3) πR3       ⇔ (E外) = (Ze/3εV) (R3/r2) 【電位】 求めた電場から電位(=静電ポテンシャル) φ(r) を求めましょう。 qφ = W = ∫ Fdr = ∫ qEdr ⇔ φ = ∫ Edr ですから、 電位は電場を距離で積分すれば求まるわけですが、問題は積分範囲です。 ここはご自分でもよく考えて欲しいですが、 ある電荷を、『クーロン力と逆向きの力』を加えながら  ●  まず 原子核外部の電場中で 無限遠 → R まで運ぶ  ●  次に 原子核内部の電場中で R → r まで運ぶ わけです。そうすれば、位置 r での電位が求まります。 よって、  (8)  φ(r) = -∫ [∞→R] (E外)dr -∫ [R→r] (E内)dr         = (Ze/εV) (R2/2 - r2/6) が得られるはずです。やってみて下さい。 【クーロンエネルギー】 これについてはちょっと考え方を変えましょう。 そもそも原子核の持つクーロンエネルギーとは、 お互いにはたらくクーロン斥力に逆らって陽子をある距離内に 運んでくるのに必要なエネルギー(仕事)のことです。 状況が比較的複雑なので添付の絵を見ながら考えて下さい。 まず、ある距離 r を半径とするような球を考えます。 電荷密度が一様にρだとすれば、 この球の体積 V, 表面積 S, および電荷 q は  (9)  V = (4/3)πr3  (10)  S = 4πr2  (11)  q = ρV = (4/3)πρr3 です。次に、ある『厚み』 dr 分だけの電荷 dq を、無限遠から運んできます。 厚み dr の部分の微小体積 dV (グレーの部分)は、『表面積×高さ』と見なして  (12)  dV = S dr = 4πr2 dr ですから、この体積中に含まれる電荷 dq は  (13)  dq = ρdV = 4πρr2 dr となります。ここまでよいでしょうか…。 さて、この電荷 dq をクーロン斥力に逆らって運んでくるわけです。 そのクーロン力の大きさはどう書けるでしょうか? これを知るためにとりあえず、ある距離 a での、 半径 r の球が作る電場 E を考えましょう。 これは先程の問題と同じように考えればよいですから、  (14)  ∫ E・dS = (1/ε) ∫ ρdV       ⇔ E 4πa2 = (ρ/ε) (4/3)πr3       ⇔ E = (ρ/3ε) (r3/a2) です。クーロン力は 電場×電荷 ですから、  (15)  F = dq * E       = 4πρr2 dr * (ρ/3ε) (r3/a2)       = (4π/3ε) ρ2 (r5/a3) dr という形で書けることがわかりました。汚いですね^^; というわけで、この力を距離 a で、∞ → r まで積分すれば、 微小電荷 dq を無限遠から位置 r まで運ぶのにする 『微小仕事 dW』が求まるでしょう。 (r で積分しないように注意して下さいね。)  (16)  dW = ∫ [∞→r] Fda        = (4π/3ε) ρ2 r4 dr となりました。 符号に注意して下さい。『クーロン力に逆らう』向きは、 進行方向と同じ向きです。つまり+の仕事です。 まだ終わりではありません。 これは距離 r のところへ電荷を運ぶ『微小』仕事ですから、 電荷を位置 0 へ運ぶ仕事から、位置 R へ運ぶ仕事まで、 全ての微小仕事を足し上げなくてはなりません。 すなわち、今度こそ距離 r で積分します。 積分範囲は 0 → R です。  (17)  We = ∫ dW        = (4π/3ε) ρ2 ∫ [0→R] r4 dr        = (4π/15ε) ρ2 R5        = (1/4πε) (3/5) (Ze)2 (1/R) となり、目的の式が得られました。 最後に(1)式および V = (3/4)πR3 を代入しています。 しっかり解くとこんな感じでしょう。 お疲れ様でした。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 これからノートに整理して解いてみます。

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