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電磁気学 球座標 電位

電磁気の問題で、「半径Rの球面上に一様に分布した電荷による静電ポテンシャルを求めよ。」で球極座標がわかりません。この問題はまず、球の極座標を考えます。 V={1/(4πε0)}∫(0→2π)∫(0→π){(σr^2 sinθ dθ dφ)/(√[R^2 +r^2 -2Rrcosθ])} を計算します。 z軸のある点P(0,0,z)と微小面積dSを結んだWは、W=(√[R^2 +r^2 -2Rrcosθ]になるのですが、なぜこういう風になるのでしょうか。W=√[x^2+y^2+z^2]は分かっていて、『√[R^2 +r^2』までは分かるのですが、『 -2Rrcosθ] 』が分かりません。

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回答No.2

>W=√[x^2+y^2+z^2]は分かっていて これが間違ってると思いますよ。 積分の中身はクーロンの法則から出てくる静電ポテンシャルですから、 電荷qの点電荷であれば V = {1/(4πε0)}[ q / W ] で、ここのWは観測点と電荷の位置を結ぶ距離です。 なので、電荷の位置を(X,Y,Z), 観測点を(x,y,z)とすると W=√[(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2] です。 この問題では点電荷ではなく密度σで球面上に広がった電荷を考えてるので、 球面上の微小面積dSに含まれる電荷量がσdSとなり、 この微小面積からのVへの寄与をdVとすると dV={1/(4πε0{(σdS)/ W} =1/(4πε0{(σdS)/ (√[(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2])} であり、これを電荷がある位置全て(つまり球面上)でX, Y, Zについて 積分すれば答になります。 これをそのまま積分するよりも球座標を使ったほうが簡単になるので 球座標を取ると dS = R^2 sinθdθdφ W = √[R^2 +r^2 -2Rrcosθ]  (これの導出は#1さんが書かれています) ※ 質問文中のr^2 sinθはR^2 sinθの間違いだろうと思います。 確認してください。

その他の回答 (1)

  • Akira_Oji
  • ベストアンサー率57% (45/78)
回答No.1

これは余弦定理で、できます。 (同じことですが) ベクトルで説明します。今、ベクトルAを「A_」のように書きます。 原点からの位置ベクトルで、2つの点の位置ベクトル r_ と R_ の間の角度をθとすれば、その2点間の距離は |r_-R_|=√{(r_-R_)・(r_-R_)} =√{r_・r_+R_・R_-2r_・R_} =√{r^2+R^2-2rRcosθ} となります。

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