関数f(x)=xe^1/xについて

質問

次の問題の解答を教えて下さる方いらっしゃいましたらよろしくお願いいたします。

関数f(x)=xe^1/xについて、
1.　その領域と漸近線を求めよ。（関数がx=0の右と左で異なることを記すこと）
2.　この関数に相対的な増減の幅、また極値を求めよ。
3.　この関数の凹凸を調べ、その変曲点を求めよ。
4.　これら3点の事項を考慮してグラフを書け。
5.　ある関数gの微分係数がつねに正確に増加しており、g'(0)=0である。
x=0の点において関数gはどのような状態であると言えるか。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

1.
lim[x→±∞] {xe^(1/x)-(x+1)}=0
なので　
「y=x+1」が x→±∞の時の漸近線

lim[x→0+] xe^(1/x)=∞なので
「x=0」が x→0+ の時の漸近線

lim[x→0-] xe^(1/x)=0 なので
「y=0」が x→0- の時の漸近線

x＜0の時　f(x)の領域(値域) f(x)＜0
(x=0は未定義)
x＞0の時　f(x)の領域(値域) f(x)≧e (等号はx=1の時)

2
>この関数に相対的な増減の幅
x<0で f'(x)=((x-1)/x)e^(1/x)>0 なので f(x)は -∞から0まで単調増加
0<x<1で f'(x)=((x-1)/x)e^(1/x)<0 なので　f(x)は∞からeまで単調減少
1<xで f'(x)=((x-1)/x)e^(1/x)>0 なので f(x)は eから∞まで単調増加

x=1で極小値f(1)=e をとる。

3
f''(x)={e^(1/x)}/x^3
x<0で f''(x)<0　なので　上に凸
x>0で f''(x)>0　なので　下に凸
x=0でf(x),f'(x),f''(x)は未定義。
x=0を境にf''(x)の符号が変わるのでx=0は変曲点

4
グラフは添付図参照

5
極小値g(0)を取る。

お礼

お礼が遅くなりまして申し訳ありません。
丁寧かつ分かりやすい解説で大変勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#224896

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f(x)=x*e^(1/x)
（１）
ｘ＜０のとき，ｚ＝-ｘとおくと
f(x)=-ｚ*e^(ｚ)
x→∞となると，f(z)=-zに近づく，
ゆえに，漸近線は，y=-x

ｘ＞０のとき，
x→∞となると，f(x)=xに近づく，
ゆえに，漸近線は，y=-x

（２）
f’(x)=e^(1/x)＋e^(1/x)(-1/x^2)
=e^(1/x){ 1 - 1/x^2 }
=e^(1/x){ (x^2 - 1)/x^2 }
=e^(1/x){ (x+1)(x-1)/x^2 }
ｘ＝－１のとき，
極小値-1/e

ｘ＝１のとき，
極大値 1/e

f’’（ｘ）= =e^(1/x){ 1 - 1/x^2 }
＋e^(1/x)(-1/3x^3)

f’’（ｘ）= =e^(1/x){ 1 - 1/x^2-1/3x^3 }
＝e^(1/x){ (3x^3 - 3x-1)/3x^3 }
3x(x^2 + 1 )-1=0
3x(x^2 + 1)=1

（３）以下，ｙ＝ｆ（ｘ）の増減表
x 　｜・｜-1｜・|約-0.74|・|約-0.39|・｜0｜・｜1｜・｜1.13｜・
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f'(x)　｜-｜ 0 ｜・・・・・・・・・・＋・・・・・・・・・・｜ 0 ｜　－
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f''(x)　｜・・（＋）・・｜ 0 ｜　　　－　　｜0｜・・・(＋)・・・・・・｜ 0 ｜＋
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f (x)　｜(右下矢印)→｜-1/e｜(右上矢印)→｜　0　　｜→(右下矢印)｜1/e｜(右下矢印)→
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（４）（３）を元に，グラフに描けばいいだけである．
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（５）g'(0)=0 では，ｘ＝０でｇは変曲点である．
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以上．

お礼

ありがとうございました。