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電磁気学の問題

 一様な電場E₀(ベクトル)の中に、帯電していない半径Rの導体球を置いた。 この時、球の回りに生じる電場は、球の中心に置いた電気双極子モーメントp(ベクトル)=4πε₀R³E₀が発生する電場と電場E₀を重ね合わせた電場と同じになることを証明せよ。   E₀は球の回りを、同じ方向を向いています。下の図   → → → → →   → → 球 → → → → → → →  このような問題なのですが、全くわかりません。 方針だけでもいいので教えてください。  お願いします。

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  • 物理学
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  • 回答No.3
noname#224896
noname#224896

>自分はこの問題がラプラス方程式を学ぶところで出てきため、ラプラス方程式を使いたかったのですが、うまくできませんでした。もしもよろしければラプラス方程式を使ったやり方で解いていただけませんか。解答方針でもいいので・・・ ラプラス方程式は,電荷が0の時に成り立つ2階微分方程式ではないでしょうか. つまり,導体球内部に双極子モーメントが存在する時は,使えないのではないでしょうか. 仮に原点の双極子モーメントの電荷密度をρとすると, ポアソン方程式では, -∇²φ=ρ/ε₀ または, ∇²φ+4πρ=0  となります. 外に電荷が無いのでρ=0とおいていいのかな. そしたら,ラプラス方程式になりますね. 双極子モーメントによるポテンシャル関数φ(r)は, φ(r)=-p・r/(4πε₀r³)と表せるので, ∇{-p・r/(4πε₀r³)}+4πρ=0 -{(∂px・x/∂x+∂py・y/∂y+∂pz・z/∂z)/(4πε₀r³)}+4πρ=0 E=-gradφより, この時点で,(∂px・x/∂x+∂py・y/∂y+∂pz・z/∂z)/(4πε₀r³)=E(r) ∫{p・r/(4πε₀r³)}dr=E(r) まず,電荷密度を求めて,ここから,解くしかないようです. ラプラス方程式,若しくはポアソン方程式を活用して. 後は,周囲の電場E₀を考慮して,... (私は,ラプラス方程式を利用して解くことができませんでした.  すみません. もし,ラプラス方程式による解法が判明しましたら,こちらに記載御願いできますでしょうか.)

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その他の回答 (3)

  • 回答No.4

受け売りの回答で申し訳ないのですが,この問題はバーガー - オルソンの電磁気学 I に詳しいです。ところが,今手元にないのでwebを検索して同一の内容と思われる下記をみつけました。 http://www.ph.sophia.ac.jp/~tomi/kougi_note/elemag.pdf ラプラス方程式の極座標形式の解をルジャンドル展開を用いて記述し,境界条件を入れて場を導出するやり方です。参考になりましたら幸いです。

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  • 回答No.2
noname#224896
noname#224896

内部電場0の導体球と,電気双極子モーメントしかなく,ラプラス方程式を使うより,求める電場の状態を早く求めることが出来るからということで,この解法は,E=-gradφと電場の合成しか使っていません. さらに,言及すれば,導体球に関しては,E=-gradφこれのz成分を抜き出してきたものです. r^2=x^2+y^2+z^2 r>R E=-E*(x,y,z)+pz/4πε₀r³ これにおいて,関係のない,x成分,y成分まで考えたくなかったのです. E=-gradφであるので,単に,電場を求めるだけなのであれば, なので,二階微分方程式であるラプラス方程式Δφ=0 は,使わないのではないでしょうか.

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質問者からの補足

ZET235711さんのやり方のほうが簡潔で分かりやすいですね。 自分はこの問題がラプラス方程式を学ぶところで出てきため、ラプラス方程式を使いたかったのですが、うまくできませんでした。もしもよろしければラプラス方程式を使ったやり方で解いていただけませんか。解答方針でもいいので・・・

  • 回答No.1
noname#224896
noname#224896

まず,電気双極子を考える必要があります. Z軸上で,原点から正の方向に,Lだけ進んだ場所に,+qの電荷 同じくZ軸上で原点から負の方向に,Lだけ進んだ場所に.-qの電荷 があるとする. つまり,電気双極子モーメントpは,p=2Lqと表せる. 次に,電位を求めて,それから電場を計算するのが便利である. 2つの点電荷による電位を合成すると, φ=(q/4πε₀)[ 1/ √{x^2+y^2+(z-L)^2}    - 1/√{x^2+y^2+(z-L)^2}] である.ここで,√(x^2+y^2+z^2)=rが, Lと比較して十分大きいとすると, {x^2+y^2+(z±L)^2}^(-1/2) ≒(r^2±2zL)^(-1/2) ≒(1/R)(1∓zL/r^3)と近似出来る. つまり,φ=2qLz/(4πε₀r³)=pz/(4πε₀r³) ここで,電場E₀(ベクトル)の中に、帯電していない半径Rの導体球を置いた。 ベクトルはZ軸方向のみ考える. 帯電していない導体球の内部は,電場は0であり, 外部電場による電位は,-E₀zである. 原点を導体球の中心に位置させる. つまり,球の外 r>Rでは, φ=-E₀z + pz/(4πε₀r³) r=Rとすると,φ=0となる. E₀=p/(4πε₀R³) ∴p=4πε₀R³E₀ ...(証明終)

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質問者からの補足

大変丁寧な解答ありがとうございます。  一応自分でもラプラス方程式を解く形でやってみようと思ったんですが、(やり方は、ラプラス方程式は、すべての境界における境界条件が与えられているとき、ただ一つだけ解をもつことから、全体の電位φがラプラス方程式を満足し、かつ、無限円および球面上での境界条件を満足することを示すやり方です。)ZET235711さんの解法はこれと同様の考え方でしょうか?

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