電磁気学の問題

質問

一様な電場E₀（ベクトル）の中に、帯電していない半径Rの導体球を置いた。　この時、球の回りに生じる電場は、球の中心に置いた電気双極子モーメントｐ（ベクトル）＝４πε₀R³E₀が発生する電場と電場E₀を重ね合わせた電場と同じになることを証明せよ。　
　E₀は球の回りを、同じ方向を向いています。下の図
　　→　→　→　→　→
　　→　→　球　→　→
→　→　→　→　→
　このような問題なのですが、全くわかりません。　方針だけでもいいので教えてください。
　お願いします。

回答No.3

noname#224896 · ベストアンサー

＞自分はこの問題がラプラス方程式を学ぶところで出てきため、ラプラス方程式を使いたかったのですが、うまくできませんでした。もしもよろしければラプラス方程式を使ったやり方で解いていただけませんか。解答方針でもいいので・・・

ラプラス方程式は，電荷が０の時に成り立つ２階微分方程式ではないでしょうか．

つまり，導体球内部に双極子モーメントが存在する時は，使えないのではないでしょうか．
仮に原点の双極子モーメントの電荷密度をρとすると，
ポアソン方程式では，
-∇²φ=ρ/ε₀
または，
∇²φ＋４πρ＝０
　となります．
外に電荷が無いのでρ＝０とおいていいのかな．
そしたら，ラプラス方程式になりますね．

双極子モーメントによるポテンシャル関数φ（ｒ）は，
φ（ｒ）＝－ｐ・ｒ／（４πε₀ｒ³）と表せるので，
∇｛－ｐ・ｒ／（４πε₀ｒ³）｝＋４πρ＝０
－｛（∂ｐｘ・ｘ/∂ｘ+∂ｐｙ・ｙ/∂ｙ+∂ｐｚ・ｚ/∂ｚ）／（４πε₀ｒ³）｝＋４πρ＝０
Ｅ＝－gradφより，
この時点で，（∂ｐｘ・ｘ/∂ｘ+∂ｐｙ・ｙ/∂ｙ+∂ｐｚ・ｚ/∂ｚ）／（４πε₀ｒ³）＝Ｅ（ｒ）
∫｛ｐ・ｒ／（４πε₀ｒ³）｝ｄｒ＝Ｅ（ｒ）
まず，電荷密度を求めて，ここから，解くしかないようです．
ラプラス方程式，若しくはポアソン方程式を活用して．

後は，周囲の電場Ｅ₀を考慮して，．．．
（私は，ラプラス方程式を利用して解くことができませんでした．
　すみません．
もし，ラプラス方程式による解法が判明しましたら，こちらに記載御願いできますでしょうか．）

回答No.4

yokkun831

受け売りの回答で申し訳ないのですが，この問題はバーガー - オルソンの電磁気学 I に詳しいです。ところが，今手元にないのでwebを検索して同一の内容と思われる下記をみつけました。

http://www.ph.sophia.ac.jp/~tomi/kougi_note/elemag.pdf

ラプラス方程式の極座標形式の解をルジャンドル展開を用いて記述し，境界条件を入れて場を導出するやり方です。参考になりましたら幸いです。

回答No.2

noname#224896

内部電場０の導体球と，電気双極子モーメントしかなく，ラプラス方程式を使うより，求める電場の状態を早く求めることが出来るからということで，この解法は，Ｅ＝－gradφと電場の合成しか使っていません．

さらに，言及すれば，導体球に関しては，Ｅ＝－gradφこれのｚ成分を抜き出してきたものです．
ｒ^2＝x^2+y^2+z^2
ｒ＞Ｒ
Ｅ＝－Ｅ＊（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｐｚ／４πε₀ｒ³
これにおいて，関係のない，ｘ成分，ｙ成分まで考えたくなかったのです．

Ｅ＝－gradφであるので，単に，電場を求めるだけなのであれば，
なので，二階微分方程式であるラプラス方程式Δφ＝０　は，使わないのではないでしょうか．

補足

ZET235711さんのやり方のほうが簡潔で分かりやすいですね。　自分はこの問題がラプラス方程式を学ぶところで出てきため、ラプラス方程式を使いたかったのですが、うまくできませんでした。もしもよろしければラプラス方程式を使ったやり方で解いていただけませんか。解答方針でもいいので・・・

回答No.1

noname#224896

まず，電気双極子を考える必要があります．
Ｚ軸上で，原点から正の方向に，Ｌだけ進んだ場所に，＋ｑの電荷
同じくＺ軸上で原点から負の方向に，Ｌだけ進んだ場所に．－ｑの電荷
があるとする．
つまり，電気双極子モーメントｐは，ｐ＝２Ｌｑと表せる．
次に，電位を求めて，それから電場を計算するのが便利である．

２つの点電荷による電位を合成すると，
φ＝（ｑ／４πε₀）[ 1/ √｛ｘ＾２＋ｙ＾２＋（ｚ－Ｌ）＾２｝
　　　- 1/√｛ｘ＾２＋ｙ＾２＋（ｚ－Ｌ）＾２｝]
である．ここで，√（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｚ＾２）＝ｒが，
Ｌと比較して十分大きいとすると，
｛ｘ＾２＋ｙ＾２＋（ｚ±Ｌ）＾２｝＾（－１／２）
≒（ｒ＾２±２ｚＬ）＾（－１／２）
≒（１／Ｒ）（１∓ｚＬ／ｒ＾３）と近似出来る．

つまり，φ＝２ｑＬｚ／（４πε₀ｒ³）＝ｐｚ／（４πε₀ｒ³）

ここで，電場E₀（ベクトル）の中に、帯電していない半径Rの導体球を置いた。

ベクトルはＺ軸方向のみ考える．

帯電していない導体球の内部は，電場は０であり，
外部電場による電位は，－E₀ｚである．
原点を導体球の中心に位置させる．

つまり，球の外　ｒ＞Ｒでは，
φ＝－E₀ｚ　＋　ｐｚ／（４πε₀ｒ³）
ｒ＝Ｒとすると，φ＝０となる．
E₀＝ｐ／（４πε₀Ｒ³）
∴ｐ＝４πε₀R³E₀　．．．（証明終）

補足

大変丁寧な解答ありがとうございます。
　一応自分でもラプラス方程式を解く形でやってみようと思ったんですが、（やり方は、ラプラス方程式は、すべての境界における境界条件が与えられているとき、ただ一つだけ解をもつことから、全体の電位φがラプラス方程式を満足し、かつ、無限円および球面上での境界条件を満足することを示すやり方です。）ZET235711さんの解法はこれと同様の考え方でしょうか？