※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：フェルマーの無限降下法）
フェルマーの無限降下法で二つの平方数の和を求める方法
このQ&Aのポイント
フェルマーの無限降下法を使って二つの平方数の和を表す方法について説明します。
具体的な計算手順を示し、恒等式を用いた表し方も紹介します。
しかし、無限降下法による解法はループするため、解にたどり着くことはできません。解決策についても考えます。
1973をフェルマーの無限降下法を使って二つの平方数の和に
表せという問題です。
259^2+1^2=34*1973からはじめていき、
21≡259(mod34)
1≡1(mod34)
となる数、1と21を選び、
21^2+1^2≡259^2+1^2≡0(mod34)
21^2+1^2=34*13
259^2+1^2=34*1973
と表します。
(21^2+1^2)(259^2+1^2)=34^2*13*1973
恒等式を使い、（u^2+v^2)(a^2+b^2)=(ua+vb)^2+(va-ub)^2
(21*259+1*1)^2+(1*259-21*1)^2=34^2*13*1973
と表せます。
5440^2+238^2=34^2*13*1973
いずれも34で割り切れる。
(5440/34)^2+(238/34)^2=13*1973
160^2+7^2=13*1973
より小さい1973の乗数がえられました。
しかし、ここから無限降下法をつづけても無限にループしてしまい
解にたどり着きません。どうしたら
良いのでしょうか?
お礼
合同式21≡259(mod34)を -13≡259(mod34)にし、 後半に現れる合同式 x≡-99(mod5) y≡８（mod5) の解を、 ｘ＝１ ｙ＝８とすれば、 最終的な解 23^2+38^2=1973にたどり着くことができました。 解説ありがとうございました。