極限値の問題でわからないところがあります。

質問

lim〔x→0〕(1/x - 1/(-1＋e^x))の極限値を求めなさい。
なぜか無限ループに陥ってしまいます。
よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

凝ったやり方もいいけれど、素朴に微小量を計算してみよう。

e^x のマクローリン展開 e^x = 1 + x + (1/2)x^2 + O(x^3) と

1/u のテイラー展開 1/(u + h) = 1/u - (1/u^2)h + O(h^2) より、

1/(-1 + e^x) = 1/(x + (1/2)x^2 +O(x^3))

= 1/(x + (1/2)x^2) - { 1/(x + (1/2)x^2)^2 } O(x^3) + O(x^6)

= 1/(x + (1/2)x^2) + O(x).

これを使って、

1/x - 1/(-1 + e^x) = 1/x - { 1/(x + (1/2)x^2) + O(x) }

= (1/2)x^2 /(x^2 + (1/2)x^3) - O(x).

= (1/2) /(1 + (1/2)x) - O(x).

よって、x→0 のとき、1/x - 1/(-1 + e^x)→1/2.

ランダウのオー O(　) が不案内なら、↓を参照。
http://www.az.cs.is.nagoya-u.ac.jp/class/simulation-engineering/notation.pdf
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%80%E3%82%A6%E3%81%AE%E8%A8%98%E5%8F%B7#.E7.84.A1.E9.99.90.E5.B0.8F.E3.81.AB.E5.AF.BE.E3.81.99.E3.82.8B.E6.BC.B8.E8.BF.91.E6.8C.99.E5.8B.95

回答No.2

info22_

ロピタルの定理を使っても良ければ、
通分してからロピタルを適用を、２回連続して使えば
極限値が「1/2」と出て来ませんか？

回答No.1

B-juggler

こんばんは。

う～んと、連分数？

何にも考えることないと思うけど。

ｌｉｍ　はとりあえずおいておいて、

ｆ（ｘ）＝｛１／ｘ－１／（－１＋ｅ＾ｘ）｝を

整理しましょう。

ｆ（ｘ）＝（－１＋ｅ＾ｘ）／（ｘ－１）　になるのは分かりますね。

このとき、　ｘ≠１、０　を忘れずに。

このｆ（ｘ）を　ｌｉｍ　かけて上げるだけじゃないかな？

０にするんじゃなくて、あくまで０に近づけるのだから、ダイジョウブだよね。

ｍ（＿　＿）ｍ