電磁気・力学の3次元振動の複合問題です。

質問

電荷qの荷電粒子がF=-krの向心力、z方向の一定な磁場によるローレンツ力q dr/dt × B, 減衰力-mγdr/dt をうけて運動するとき、x方向に交流電場E0cosωtが加えられたとき、定常状態における<x(t)^2 + y(t)^2>を求めよ。ただし<>は運動の一周期2π/ωでの時間平均である。

m:粒子の質量,k:正の定数,γ:減衰定数
ω0＝√(k/m)とすると、ω0>>qB/m , ω0>>γ という条件をつかって近似に使えます。

自分ではまず交流電場を無視した時の非同次の方程式から求めた解を出して、それが定常状態ではすなわちt→∞とできるので、結局この解はゼロに収束するとわかりました。なので、交流電場が加えられたときの定常状態では角周波数ωの特解を自分でおいてどうにか解けばいいと思いましたが、具体的にどうすればいいのかわからなくなり、Give upです。
時間平均とかの定義は大丈夫なので、方針、運動方程式、特解の置き方、方程式の解き方、結果など…特に式は自分で立てられたので、微分方程式の解き方を中心に簡単に示していただければありがたいです。もちろん大変は承知で、全部解いてくれる方がいれるともっとありがたいです。

回答No.3

eatern27

例えば、w=x+iyとでも置けば、wに関する微分方程式は磁場のない時と同様(磁場の影響が減衰定数γの虚部に入る)の形になり、解析的に解くことができますね。

あるいは定常状態である事をまともに使うのなら、フーリエ級数展開して考える流れが良さそうです。
結論としてはcos(ωt),sin(ωt)の項しか残らないと思うので、#2さんのご回答のような流れになるはずです。

回答No.2

yokkun831

中心力のエネルギーは一定ではないですから，周期平均をとらなければなりません。
定常解は楕円になるのではなかろうか，と安易に考えておりますが自信がないので聞き流して下さい。

もし，
x = a sin(ωt+α)
y = b sin(ωt + β)
とでもおけるなら，
<x^2+y^2> = (a^2+b^2)/2
となると思います。

a，bは抵抗と電場による仕事の相殺によって導出できる気がします。

回答No.1

yokkun831

ご質問の意図には沿えないと思いますが，

定常状態をエネルギーの観点で見ると，
（１）　中心力の位置エネルギーは周期的に変動
（２）　ローレンツ力は速度に垂直だから仕事をしない
（３）　抵抗による損失は
（４）　電場による仕事によって補われる
（５）　運動エネルギーは周期的に変動

結果的に，
（１）＋（５）＝一定
（３）＝（４）
となることを用いると，題意には沿えるのではないかと考えてみました。

アイディアのみです。

補足

回答ありがとうございますm(_ _"m)ペコリ

x^2+y^2=ρ^2と極座標にしてすると、

中心力の位置エネルギー∝ρ^2　となり、抵抗の損失が電場によって補われる結果力学的エネルギーが保存されて、中心力のエネルギーは一定、つまり時間平均は力学的エネルギーの半分になるから、その関係で
<x^2+y^2>=<ρ^2>が求まるということですかね？

すごくスマートな方法だとおもいます。ただこの場合、電場はx方向のみに作用しているので、y方向はどうなるか物理的にイメージが付かないので（中心力の位置エネルギーはxy平面上の全方向で周期的に変動するかどうか）、腑に落ちないところがあります。なにかアドバイスしていただけるとありがたいです。