磁束と電流・電圧の関係に関する問題

質問

下の問題が最初の問いからから手が付けられません。解法の手順を教えて下さい。

・問題
図に示すように、半径Rの円環状の鉄心に電気抵抗が無視できる巻き数Nのコイルを巻いた。ただし、鉄心の断面は半径rの円であり、rはRよりも十分小さいものとする。鉄心のB-H特性(鉄心内部の磁束密度Bと磁場Hとの関係)は図に示す通り非線形性を有するものとする。そして、このコルの両端に図に示すように振幅Voで繰返し周期Tの短形波状の電圧(t)を印加する。なおコイルの電流I（t)により発生したΦ（t)は鉄心内部のみに発生し、その他の空間への漏れはないものとする。また、磁束密度B(t)並びに磁場H(t)の鉄心断面に垂直な成分は、断面に対し一様に分布しており、図の鉄心内部の矢印の向きを正方向とする。この時以下の問いに答えよ。

(問1)　鉄心内部に発生する磁束Φ(t)と印加電圧V(t)との関係を示せ。
(問2)　Φ(t)の時間変化をグラフで示せ。ただしt=0の時の磁束Φ(0)は、ゼロであったものとする。
(問3)　鉄心内部の磁場H(t)と電流I(t)との関係を示せ。
(問4)　鉄心内部の磁束密度(t)の絶対値の最大値がμaHkよりも大きいとき電流I(t)の時間変化をグラフで示せ。また、電流I(t)の絶対値の最大値を求めよ。
(問5)　コイルに供給される瞬時電力P(t)=V(t)・I(t)をB(t)とH(t)を用いて表せ。
(問6)　鉄心の単位体積当たりに蓄積されるエネルギーの最大値を求めよ。

・分かる範囲で自分で考えたこと・特にわからないところ
(問1)　dΦ = Vdtの関係式から導こうと思ったのですが、Vがｔの関数で表せないので積分できません。各時間における電圧を定数として見なして，tの値によって場合分けするというのがいいのでしょうか？
(問2)　前問の考え方からするとΦ(0)=0というのが意味わかりません。前問の考えはやっぱり間違ってますか？この２問は考え方自体どうすればいいのかわかりません。
(問３)　これは普通にソレノイドが作る磁場H=nIの関係式でいいでしょうか？
(問４)　電流の変化の仕方がそもそも思い浮かびません。電気抵抗を考えないでどう算出するのでしょうか？
(問５)(問６)は解法の指針がそもそも分かりません。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

noname#154783 · ベストアンサー

> 素人くさい質問ですが，V(t)=NdΦ(t)/dtって負号付かないんですか？たしか参考書とかでは負号がつているような気がしたのですが。

コイルに発生する誘導起電力をe(t)とすると，電流の向きを正として，
e(t) = -N dΦ(t)/dt.

で，コイルには外部電源が接続されていて，コイツの起電力は，電流の向きを正としてV(t)です．

コイル全体の起電力の合計は
V(t) + e(t) = 0
∴V(t) = -e(t) = N dΦ(t)/dt.

ANo.2はホントにマユツバで読んでくださいね．

お礼

解説ありがとうございます！
ANo.2も多分これで大丈夫だと思います。

回答No.2

noname#154783

後半，(問4)～(問6)です．
前半と違って，自信はありませんので，マユツバで読んでください．

(問4)
前問でI(t)をH(t)で表すことができたのですが，今のところHの時間依存性は判っていません．

しかし，問2によりΦ(t)の時間依存性は判っています．さらに
B(t) = Φ(t)/(π r^2)
なので，HをBで表すことができれば，Iの時間依存性は判るはず．

B-H図より
H =
{ B/μa　(|B| ≦ μa Hk)
{ B/μb - (μa/μb - 1)Hk　(|B| ≧ μa Hk)
なので，
H =
{ Φ/(μa π r^2)　(|Φ| ≦ μa π r^2 Hk)
{ Φ/(μb π r^2) - (μa/μb - 1)Hk　(|Φ| ≧ μa π r^2 Hk)

I = 2π R H/N =
{ 2R Φ/(N μa r^2)　(|Φ| ≦ μa π r^2 Hk)
{ 2R Φ/(N μb r^2) - 2π(μa/μb - 1)R Hk/N　(|Φ| ≧ μa π r^2 Hk)

となります．

Φ = Φ(t)として問2のグラフを合わせて考えれば，添付図のような概形のグラフになるはずです．

Φの最大値が Vo T/(4N) であることから，電流の絶対値の最大値は，
Vo R T/(2N μb r^2) - 2π(μa/μb - 1)R Hk/N.

(問5)
P(t) = V(t)・I(t)
= N dΦ(t)/dt・2π R H(t)/N
= N π r^2 dB(t)/dt・2π R H(t)/N
= 2π^2 R r^2 dB(t)/dt・H(t).

(問6)
この回路，コイルに電気抵抗がないのでジュール熱が発生せず，電源から供給されたエネルギーは全て磁気エネルギーになる．

したがって，単位時間に供給される磁気エネルギーは，単位体積当たり，
P(t)/(2π^2 R r^2)
= V(t) I(t)/(2π^2 R r^2).

Φ(0) = 0とのことなので，時刻0において鉄心に蓄えられた磁気エネルギーは0と思われますから，鉄心単位体積当たりのエネルギーをw(t)とすると，

w(t)
= ∫[0,t] P(t) dt/(2π^2 R r^2).

w(t)の積分の最大値は問4のグラフから，
∫[0,T/4] P(t) dt/(2π^2 R r^2)
= Vo ∫[0,T/4] I(t) dt/(2π^2 R r^2)
= Vo^2 T^2/(32π^2 r^4 N μb)
- μa Hk Vo T/(8π r^2)
- (μa/μb - 2)Vo T Hk/(8π N r^2)
+ (μa/μb - 1)μa Hk^2 /2.

お礼

回答ありがとうございます。
御蔭様で感覚が掴めてきました！

回答No.1

noname#154783

1回の回答にファイルを1つしか添付できないので，回答を2つに分けてみました．

まずは前半，(問1)～(問3)です．

(問1)
V(t) = N dΦ(t)/dt
でいいんじゃないでしょうか．

(問2)
前問の答えを0からtまで積分して，
Φ(t)
= Φ(0) + ∫[0,t] dΦ(t')/dt' dt'
= (1/N) ∫[0,t] V(t') dt'.

これを式で表現するのは場合分けが面倒なのですが，グラフにするだけでいいなら添付図みたいになることは簡単にわかると思います．

(問3)
コイルの巻き数Nは与えらえてますが，コイルの長さが与えられていないので，単位長さあたりの巻き数が判りません．なのでソレノイド磁場の式N = n Iは使えません．

仕方がないので，アンペールの法則を使います．

N I(t) = ∮[鉄心] H(t)・dl = 2π R H(t).
∴I(t) = 2π R H(t)/N.

お礼

回答ありがとうございます！
素人くさい質問ですが，V(t)=NdΦ(t)/dtって負号付かないんですか？たしか参考書とかでは負号がつているような気がしたのですが。