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あるアニメで出された問題ですが…pが素数である必要
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まどか☆マギカ10話ですね。 私も放映時、「解けるかな・・・」と思っていたのですが、取り組んだところ案外素直に解けました。 自然数では成り立ちません。例えば、p=4のとき、 与式 = 4n + 6n^2 + 4n^3 となり、これはp=4で割り切れない n (例えば1)がありますよね? 私の証明は二項展開を用いて行ったので、pが素数であるということは自然と用いたのですが、質問者さんはどのような証明をされたのでしょうか?
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- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
そのアニメは、いい歳をして泣きました。 二項定理を用いて証明する際、 n の k 次項の係数として、pCk すなわち p!/(k!(p-k)!) が現れます。 これの分子が p の倍数であることは明らか ですが、約分で消えてしまってはしかたがない。 p が素数なら、分母の素因数は p より小さい ので、p は約分されません。 p が素数でなければ、 No.1 さんのような反例がありますね。
お礼
回答ありがとうございました。 久しぶりに良いアニメを観たと思います。 おかげで何度も観ているうちに 気になって質問に至りました。
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんにちわ。 アニメは知らないのですが。^^; 式を少し詳しく見てみると、 (1+ n)^p- 1- n^p = (1+ n)^p- (1+ n^p) = 1+ p*n+ p(p-1)*n^2+・・・+ n^p- (1+ n^p) = p*n+ p(p-1)*n^2+・・・+ p*n^(p-1) = Σ[k=1, p-1] { pCk* n^k } と変形できます(from 二項定理)。 あとは、素数:pに対してそれぞれの pCkが pで割り切れることを示すことができれば問題は証明されます。 >pが自然数の場合に成り立つと思いますが >なぜ、素数にしたのでしょうか? それぞれの pCkが pで割り切れるということを示そうとすると、 ただ pが自然数というだけでは示すことができません。 #1さんの p= 4の場合でも、4C2= 6となって割りきれません。 で、示す方法ですが、pCkと (p-1)C(k-1)の関係を考えます。 pCk= p/k* (p-1)C(k-1) k* pCk= p* (p-1)C(k-1) 右辺は明らかに pの倍数となっています。 左辺については 1≦ k≦ p- 1< pであり、かつ pが素数であることから kは pの倍数ではないことがわかります。 (この部分の議論が、「pが素数」でなければならないところの核心部分です) よって、pCkは pの倍数となります。
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お礼
回答ありがとうございました。 アニメ中では他にも色々と問題が出ていたので 「二項定理で解ける」程度で済ませていました。 4C2も4で割れるような勘違いをしていました。