相似な図形の面積比

質問

中学数学の問題です。

△ABCの辺AB,AC上に点D,EをそれぞれAD:DB=1:2,AE:EC=1:2となるようにとる。
BEとCEの交点をFとするとき、次の問いに答えなさい。

(１)△DFEと△CFBの面積の比を求めなさい。
(２)△ABCの面積は△DFEの面積の何倍か。

この問題の解法がわかりません。
どなたか教えてください。

回答No.2

tomokoich · ベストアンサー

(1)AD:DB=1:2,AE:EC=1:2より
まず△ABC∽△ADEなのでBC:DE=3:1
よって△DFEと△CFBも相似になります(相似比は1:3)
△ADEの高さは△ABCの高さを1とすると1/3なので
△DFEと△CFBの高さの合計(=□DBCEの高さ)は2/3になるので
△DFEの高さ:△CFBの高さ=1:3から
△DFEの高さ=(2/3)×(1/4)=1/6
△CFBの高さ=(2/3)×(3/4)=1/2

よって△DFEの面積=(1/3)×(1/6)=1/18
△CFBの面積=1×(1/2)=1/2
△DFE:△CFB=(1/18):(1/2)=1:9

(2)△ABCの面積を1とすると(1)より△DFE=1/18なので18倍

回答No.1

info22_

>BEとCEの交点をFとするとき
これは「BEとCDの交点をFとする」の間違いでは？

(1)AD:DB=1:2,AE:EC=1:2から
　△ABC∽△ADE
　相似比　DE：BC＝AD：AB＝AD：(AD+DB)＝1：(1+2)＝1:3 …(A)

　DE//CBかつDE：BC＝1:3なので
　　△DFE∽△CFB、
　面積比は相似比の自乗になるから

　∴△DFE:△CFB＝1^2：3^2＝1：9

(2) (1)から
　△DFE＝(1/9)△CFB
　　　 ＝(1/9)△CDB×(CF/CD)＝(1/9)△CDB×(CF/(CF+FD))
　　　 ＝(1/9)△CDB×(3/(3+1)) (∵△DFE∽△CFB,FD:CF＝1：3)
＝(1/9)(3/4)△CDB＝(1/12)△CDB …(B)
　△CAB：△CDB＝AB：DB＝(AD+DB)：DB＝(1+2)：2＝3：2 ∴△CDB＝(2/3)△ABC …(C)
(B)に（C)を代入して
　△DFE＝(1/12)(2/3)△ABC＝(1/18)△ABC
∴△ABC＝18△DFE
　（答え）18倍