循環小数についての質問

質問

0.3333333・・・の循環小数は3/9＝1/3
0.9999999.・・・の循環小数は9/9＝1となるのはなぜ？

回答No.4

comfortably

最後の方にまとめがあります。説明は読み飛ばしても結構です。

これを計算するときに問題となっているのは,小数点以下の循環部分です。なので、第一に考えるべきことは、どうやって循環部分を消すかということです。邪魔ですもの、消したいじゃないですか。
では、どうやって消しましょうか。ここで、1次方程式を使いましょう。
まず、xイコールとおきます。同じものを2つ用意しましょう。
x=0.9999999999……
x=0.9999999999……
こうなりました。どうやって消しましょう。掛け算か、割り算か、引き算か、足し算か……
この場合、ふたつを引き算すると、０になりますよね。何を今更って感じです。
しかし、ここに大きな秘密が。よくよく考えると、邪魔な小数点以下が消えているではありませんか！引き算がどうやら有効そうです。
でも、0じゃ意味ないですね(´・ω・｀　)
じゃぁ、どうするか。引き算をしても0にならないようにしましょう！
式をいじくって、少数より上に数字が来て、尚且つ引き算で小数点以下が消えるようにするのです。
引き算で小数点以下が消えるということはつまり、小数点以下が同じように並ばないといけないのです。
~.9999999……
0.9999999……
このふたつのようにします。これらを引き算してやると、うまく小数点以下が消えますね?
次に、上のような状態をどのように作るかを考えましょう。
9が永遠と続いているので、9が一つ1の位に来ても変わりありません。
なので、9を1の位へ一つ移動させましょう。どうするか。
両辺に10を掛けてみます。
10x=9.99999999……
↑の9が1の位に上がりました！
10x=9.99999999……
　x=0.99999999……
お！引き算が出来そうじゃないですか！！
やってみました
9x=9
後は方程式を解くだけですね！

説明が分かりにくいと思いますので、まとめてみました。↓

0.999999……
xイコールでおく
x=0.9999999……
小数点以下を引き算で消したいから、小数点より上へ9を一つ持ってくる。このとき、小数点以下の形は変えない
両辺へ10を掛ける
1ox=9.99999999……
もう一つ用意し引き算
　　10x=9.999999……
　－ x=0.999999……
　――――――――――――――――――
　　 9x=9
x=1

回答No.3

Ishiwara

0.999...は0.333...のちょうど３倍です。9/9は3/9のちょうど３倍ですから、少しも矛盾していません。どこがヘンなのか具体的に述べてください。

回答No.2

178-tall

まず、勘定法の用意から…。

　等比 (r) 級数の和　1 + r + r^2 + r^3+ .... r^n
を勘定するとき、
　(1-r)*(1 + r + r^2 + r^3+ .... + r^n)
　= 1 + r + r^2 + r^3 + .... + r^n
　　　- r - r^2 - r^3 - .... - r^n - r^(n+1)
　= 1 - r^(n+1)
の関係式を借用し、
　1 + r + r^2 + r^3+ .... + r^n = {1 - r^(n+1)}/(1-r)　　…(1)
の右辺で勘定しますね。
公比 r の絶対値が 1 より小さければ、n を無限に増やしていくと、r^n や r^(n+1) はゼロへ収束するので、
1 + r + r^2 + r^3+ .... + r^n の値は 1/(1-r) へ収束。

最初のお題なら、
　0.33 .... = (3/10)*(1 + (1/10) + (1/10)^2 + (1/10)^3 + ....)
と表せる。
右辺は公比 1/10 の和なので、1/(1-r) = 10/9 。
つまり、
　0.33 .... = (3/10)*(10/9) = 3/9 = 1/3
へ収束。

…ご質問は 1 桁の繰り返しなので、(1) の r = 1/10 でした。
ならば、m 桁の繰り返しでは？
左様、r = 1/10^m でしょうね。

0.9999999.... の循環小数も上記の手で勘定してみれば？

回答No.1

noname#157574

x＝0.3333333・・・とおけば10x＝3.3333333・・・
したがって9x＝3　x＝1/3＝0.3333333・・・
またy＝0.9999999.・・・とおけば10y＝9.9999999.・・・
したがって9y＝9　y＝1＝0.9999999.・・・