放物線と直線に囲まれた図形の面積Sの最大値を求める問題
- 放物線と直線で囲まれた図形の面積Sを求める問題の一部分で、式S＝1/6{√(m^2－8m＋24)}^3を最大化する方法について疑問があります。
- 質問文の中で述べられている『S＝1/6{√(m^2－8m＋24)}^3＝1/6{(m－4)^2＋8}^3/2』という式は、mが4のときに最小値を持ちます。
- 簡潔に言うと、√(m^2－8m＋24)が最小の場合、{√(m^2－8m＋24)}^3も最小となります。また、f(x)≧0であるとき、f(x)が最小となる場合、{f(x)}^nも最小となります。
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S＝1/6{√(m^2－8m＋24)}^3の最大値
放物線と直線で囲まれた図形の面積Sを求める問題の一部分なんですが、 『S＝1/6{√(m^2－8m＋24)}^3＝1/6{(m－4)^2＋8}^3/2 (m－4)^2＋8はm＝4で最小値8をとるから、Sはm＝4で最小値8√2/3をとる。』 と書いてあるのですが、これは、『√(m^2－8m＋24)≧0だから{√(m^2－8m＋24)}^2が最小となるとき、√(m^2－8m＋24)も最小となる。 √(m^2－8m＋24)≧0だから√(m^2－8m＋24)が最小となるとき{√(m^2－8m＋24)}^3も最小となる。』 ということを簡潔に言っているのでしょうか？ その前にそもそも『f(x)≧0、nは自然数のとき、f(x)はx＝～で最小となる⇔{f(x)}^nはx＝～で最小となる』というのは正しいでしょうか？ 『a＞0、b＞0、nは自然数のとき、a＜b⇔a^n＜b^n』と参考書に書いてあったことから考えたんですが… よく、絶対値とかの最大、最小を求めるときに、『A^2は～のとき最大となり、A≧0だから、このときAも最大となる。』というのを使いますが、それもこれのn＝2の場合なのかな？と思ったのですが… どなたか回答くださると助かります(>_<)
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実は"fの狭義の単調増加性"という裏が隠されている。 fの狭義の単調増加とは ∀x1,x2∈Rについて(Rでなくても空でないRの部分集合でもよい) x1<x2 ⇒ f(x1)<f(x2) が成立すること。 (特にf(x1)≦f(x2)であれば広義の単調増加という) では本題ではf(x)=√x (x∈I⊂R)として f(x)は明らかに有界な区間Iであれば狭義単調増加性を保っていることは確かだろう。 それに基づいて特にIが閉集合であれば、min(x∈I)(f(x))=f(minI) (minIはIの中で一番小さい値) が成り立つのはここで認めてもらうことにして、 J={s|s=(m^2－8m＋24)、m∈R}が閉集合をとるので minf(J)=f(minJ)=f(8) となる。
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- alice_44
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＞ これは今回の質問とどう関わってくるのでしょうか？ 実関数 x^2－8x＋24 の最小値は、x が自然数である x=4 で現われるので、 A No.2 の論点は、今回の問題には直接影響しません。 忘れていても正解できるので、忘れがちかな？と思っただけです。
お礼
自然数以外で最小になると何かあるんですか…？ 私が考えていたのは、例えば、y＝√{(x－1/2)^2＋2}の最小値を求めたいなら、(x－1/2)^2＋2はx＝1/2で最小値2をとる。√{(x－1/2)^2＋2}≧0だから、(x－1/2)^2＋2が最小となるとき√{(x－1/2)^2＋2}も最小となる。よってyはx＝1/2で最小値√2をとる。とするというものなんですが、これはものすごい間違いをしているんでしょうか…
>>そもそも定義域からはずれていて…という風に考えればよいのですよね？ 違う。例えばx^2はx<0のとき狭義の単調減少になる。したがって単調増加とは考え方が逆になる。 fが狭義の単調減少であるとは x1,x2∈Rについて x1<x2 ⇒f(x1)>f(x2) になること。
お礼
あ、nってx^nのnでしたか。y＝n乗根xのnかと思いました(>_<)こっちなら合っていますかね？
>>例えば、y＝√x(x－1)の最小値を求めたいときは、x(x－1)が、x≦0、1≦xにおいて最小となるとき、√x(x－1)も最小となる、というような考え方で合っているでしょうか？ 合っている。 >>それから、y＝3乗根xなども常に単調増加ですよね？ そのとおりです >>y＝x^3のグラフを横にした形になるような気がするのですが…もしそうなら、自然数乗根なら同じように考えられますよね？ そうです。 ただし、分かっていると思うが気をつけなければならないのはnが偶数のときxが負でない実数をとるときに限ってこれが成り立つので、負を含んだ場合には成り立たない。
お礼
回答ありがとうございます。 nが偶数で、根号の中身が0未満となるxがある場合は、最初のお礼でさせていただいた質問のように、そもそも定義域からはずれていて…という風に考えればよいのですよね？ 何度もすいません；
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
解答例が話を端折っている部分の内容は、 貴方の解説が正しいと思います。 変数が自然数であることに関する注意点としては… 例えば、f(n) = n(n+1) の最小値は、 n が自然数であれば、n = 1/2 とはならないので f(0) = 0 が最小となり、 n が実数の場合とは異なります。
お礼
回答ありがとうございます。 すいません、変数が自然数の場合の話自体は理解できるのですが、これは今回の質問とどう関わってくるのでしょうか？ 理解力が足りずすみません(>_<)
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