数列に関する不等式の推測と証明について
- 正の数列に対して成り立つ不等式を推測しましたが、証明については困っています。
- 上式を数学的帰納法により証明するために、次の項を考えていますが進めません。
- 数列における不等式の証明に関してご教示いただけないでしょうか。
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数列に関する質問
正の数a1,a2,a3....an に対して次の不等式が成り立つ。 a1・1/a1≧1 (a1+a2)・(1/a1+1/a2)≧4 (a1+a2+a3)・(1/a1+1/a2+1/a3)≧9 (1) ここから一般にn個の整数に対して、成り立つ式を推測しなさい。 (2) 上式を数学的帰納法にて証明せよ という問題ですが (1)に関しては [ｒ=1→(n)]Σar・[ｒ=1→(n)]Σ1/ar≧n^2 ≧n^2 と考えたのですが・・(2)がよくわからない n=1のときは右辺1 左辺1で成り立ちます n=kのときに成り立つとして ([ｒ=1→(k)]Σar+ak+1)・([ｒ=1→(k)]Σ1/ar+1/ak+1)から ([ｒ=1→(k)]Σar・[ｒ=1→(k)]Σ1/ar）+([ｒ=1→(k)]Σak+1/ar+ar/ak+1)+1 という所までは考えたのですが(式中のk+1は添字です） このあとが続きません 式中の ([ｒ=1→(k)]Σak+1/ar+ar/ak+1の部分が≧2kと証明できれば k^2+2k+1から(k+1)が成り立つと証明できそうなんですがわかりません どなたか回答頂けないでしょうか
- bamobamo23
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今考えてる和の各項は、正数αについて α + 1/α という形。 αと1/αの少なくとも一方は1以上。 1以上であるものはあるt≧0によって1+tと表せる。 α + 1/α =(1+t) + 1/(1+t) ≧2 + t^2/(1+t) ≧2。
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- under12
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このあたりを参照したほうがいいかも http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87
お礼
回答頂きありがとうございます。 参照してみます。
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お礼
回答いただきありがとうございます やっと理解できました。