近似多項式について教えてください

質問

電気のフィルタ系の資料を読むと e^(-s)　を近似多項式に展開する際

e^(-s) = 1/(coshs + sinhs)

と変形して　coshs sinhs　を各々マクローリン展開して近似多項式を求めており
結果として

２乗の近似多項式　1/(s^2 + 3*s + 3)
３乗の近似多項式　1/(s^3 + 6*s^2 + 15*s + 15)

となっているのですが　

e^(-s^2) の近似多項式を求めたい場合　どういった変換を行うのがよいのでしょうか？

結果として　上の結果と同じような形で

２乗の近似多項式　1/(s^2 + a*s + b)
３乗の近似多項式　1/(s^3 + c*s^2 + d*s + e)

といった形にしたいのです

また追加の質問で申し訳ありませんが　e^(-s) の場合　なぜ変形しているのでしょうか？
1/(s^2 + 3*s + 3)の形にするためでしょうか？

教えていただけると助かります　よろしくお願いします

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

蒙御免。
e^(-s^2) = e^(ω^2) の正負号をミスってたようです。
1/e^(ω^2) = 1/P(s) の近似多項式 P(s) ですね。

　e^(ω^2) → 1 + ω^2 + (ω^4)/2 + (ω^6)/6 + …
　　　　　　　= 1 - s^2 + (s^4)/2 - (s^6)/6 + …
と級数展開して、有限項で打ち切ってみます。

　2 項で打ち切り： s^2 - 1 = (s+1)(s-1)
　　　左右の両半平面に零点がある。右のを左へ折り返せば、
　　P1(s) = (s+1)^2

　3 項で打ち切り： s^4 - 2*s^2 + 2 =
　　　　　　　　　　= (s^2 + 2.1974s + 1.4142)(s^2 - 2.1974s + 1.4142)
　　　　　　　　と左右の両半平面に零点がある。右のを左へ折り返せば、
　　P2(s) = (s^2 + 2.1974s + 1.4142)^2

スプレッドシートなどでざっと Bode 線図を描いてみると、P1(s) → P2(s) → … と打ち切り次数を上げていくにつれて、e^(ω^2) の振幅特性に近づくのがわかりますヨ。

お礼

ご回答ありがとうございます

回答No.2

178-tall

>e^(-s^2) の近似多項式を求めたい場合…

つまり、e^(s^2) の近似多項式ですね。

まず思い浮ぶのは級数展開して有限項で打ち切る「手」。
…けれど、虚軸上 (s = jω)で零位相なので、余分な処理が要りそう。

　2 項で打ち切り： s^2+1 = (s+j)(s-j)　　虚軸上に零点があるので NG 。

　3 項で打ち切り： s^4 + 2*s^2 + 2 =
　　　　　　　　　　= (s^2 + 0.9102s + 1.4142)(s^2 - 0.9102s + 1.4142)
　　　　　　　　と左右の両半平面に零点がある。
　　　　　　　　右のを左へ折り返せば、
　　　　　　　　　　(s^2 + 0.9102s + 1.4142)^2

お礼

pascal3さん　178-tallさん

数学の質問として成立していない質問にお答えいただき
大変感謝しております

178-tallさんの回答を参照に　もう少し調べてみます

ありがとうございます

回答No.1

pascal3

電気のフィルタ系の資料なるものを読んだことがないので見当外れかもしれませんが、
何かのヒントになればと思って書き込みます。
間違っていたらご容赦ください。

> ２乗の近似多項式　1/(s^2 + 3*s + 3)
> ３乗の近似多項式　1/(s^3 + 6*s^2 + 15*s + 15)

とあるのですが、
これのグラフをコンピュータでプロットしてみたところ、e^(-s) とはまるで重なりませんでした。
近似多項式という以上はグラフが重なるようなものだと思ったのですが、違うのでしょうか？
失礼ながら、どこかにミスがある可能性を疑っております。

もし、単純に「逆数をとる→マクローリン展開→適当に打ち切る→逆数」でいいのなら
これとは違う式になるでしょうし、
そもそも分数関数であるのに「多項式」というのは何かおかしいような気がします。
もしかしたらPade近似のようなものを考えているのかもしれません。
該当する資料を再確認して導出過程の詳細を書いていただくか、または文献情報を記していただけないでしょうか。

もし見当違いでしたら申し訳ありません。

補足

ご回答ありがとうございます

式が間違っていました　正しくは

2次　3/(s^2 + 3*s + 3)
3次　15/(s^3 + 6*s^2 + 15*s + 15)

となります　申し訳ありませんでした

よろしくお願いします