数学IIの問題

質問

mを２より大きい実数とする。χの2つの方程式
χ＾2-２＾(m+1)χ+３・２＾m=０…(1)
２log2χ-log2(χ-１)=m　　　 …(2)
について、
（１）方程式(1)、(2)のそれぞれは２つの異なる実数をもつことを示せ。
（２）方程式(1)の解のうち、ちょうど１つだけが方程式(2)の解の間にあることを示せ。

ただし、２＾m=ｋを用いて、という条件で、お願いしますｍ（_ _）ｍ

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

良く見ると、＃1の回答は　駄目。
肝心な真数条件を考慮してない。同値について、全く考慮していない欠陥回答。

g(x)＝x＾2-kx+k＝0　とすると、真数条件から、x＞1.
従って、題意を満たすには、この方程式の2解ともに　x＞1　である事を証明する。

k＞4から、判別式＝k(k-4)＞0、g(1)＝1＞0、軸：k/2＞1　より　確かに、2解共にx＞1の異なる実数解を持つ。

回答No.2

mister_moonlight

＞（２）方程式(1)の解のうち、ちょうど１つだけが方程式(2)の解の間にあることを示せ。

解りにくい書き方をしてるが、(2)の方程式の底が2なんだろうと解釈する。

2＾m=ｋとすると、ｋ＞4　‥‥(1)
2つの方程式を　f(x)＝x＾2-2kx+3k＝0　‥‥(2)　g(x)＝x＾2-kx+k＝0　‥‥(3)　とする。
(2)の2解を α、βとすると、解と係数から　α＋β＝2k、αβ＝3k　‥‥(4)
グラフを描くと解るが、題意を満たすには　g(α)*g(β)＜0　であると良い。
(2)から、α＾2＝2kα-3k　であるから、g(α)＝α＾2-kα+k＝2kα-3k-kα+k＝k(α-2)　
同様にして、g(β)＝k(β-2)。
よって、g(α)*g(β)＝(k＾2)*(α-2)*(β-2)＝(4)を使うと＝(k＾2)*(4-k)＜0。　なぜなら　(1)による。
以上により、証明された。

回答No.1

gohtraw

（１）
２＾ｍ＝ｋとおくと
（１）はｘ＾２－２ｋｘ＋３ｋ＝０　・・・（１）’
ｘ＝（２ｋ±√（４ｋ＾２－１２ｋ））／２
ｋは４より大きい実数なので根号の中は正であり、従って（１）は異なる二つの実解をもちます。

（２）は（底は省略しています）
　ｌｏｇｘ＾２－ｌｏｇ（ｘ－１）＝ｌｏｇ（ｘ＾２／（ｘ－１））＝ｍ
よって　ｘ＾２／（ｘ－１）＝２＾ｍ＝ｋ
ｘ＾２ーｋｘ＋ｋ＝０　・・・（２）’
ｘ＝（ｋ±√（ｋ＾２－４ｋ））／２

（２）
（１）’の大きい方の解と（２）’の大きい方の解を比較すると、
２ｋ＞ｋ
４ｋ＾２－１２ｋ＞ｋ＾２－４ｋ
なので、（１）’の大きい方の解＞（２）’の大きい方の解　となります。・・・（あ）

また、（１）’の小さい方の解をｘ＾２ーｋｘ＋ｋに代入すると
ｋ＾２－ｋ√（４ｋ＾２－１２ｋ）＋ｋ＾２－３ｋーｋ＾２＋ｋ√（４ｋ＾２－１２ｋ）／２＋ｋ
　　＝ｋ＾２－ｋ√（４ｋ＾２－１２ｋ）／２－２ｋ
　　＝ｋ（ｋ－√（４ｋ＾２－１２ｋ）／２－２）　・・・（３）
カッコの中の符号を調べるためにｋ－２と√（４ｋ＾２－１２ｋ）／２の大小を比較すると
（ｋ－２）＾２＝ｋ＾２－４ｋ＋４
（√（４ｋ＾２－１２ｋ）／２）＾２＝ｋ＾２－３ｋ
前者から後者を引くと
ーｋ＋４　となり、ｋは４より大きいことからこの符号は負であり、（３）の値は負となります。
従って（１）’の小さい方の解は（２）’の二つの解の間にあることが判ります（必ず図を書いて確認して下さい）。　・・・（い）

（あ）および（い）より、方程式(1)の解のうち、ちょうど１つだけが方程式(2)の解の間にあることが判ります。