- 締切済み
ベクトル解析の証明問題
任意の閉曲面をSとする．スカラー場f(r),g(r)に対して，∫[s]{▽f(r)×▽g(r)}・dS=0が成り立つことを示せという問題が出たのですが，発散の定理を用いて∫[V]{▽g(r)・(▽×▽f(r))-▽f(r)・(▽×▽g(r))}としてみたのですが，ここからどうすれば0になるということを示せるのでしょうか・・・？ そもそもガウスの発散定理を用いることが間違っているのでしょうか？ 問題自体が間違えているということはないですよね・・・？
- sekihoutai
- お礼率42% (55/129)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
▽×▽f(r) っていくつ?
関連するQ&A
- ベクトル解析学の発散divvの問題について
ユークリッド空間に、原点をOとするxyz座標をとる。空間からOを除いた領域で定義されたベクトル場v(x)= x/||x||^3 y/||y||^3 z/||z||^3 を考えます。ここに、||x||=√(x^2+y^2+z^2)です。このベクトル場について、 発散divvを計算してください。また、Oを中心とし半径がRの球面S(R)上での面積分∫S(R)v・dSを求めてください。球面S(R)のパラメーター表示は(単位球面)x(u,v)= cosu・cosv cosu・sinv sinu また、計算するとx^2+y^2+z^2=1―(1)です。 解答はdivv=0,面積分の値は4πです。 という問題で解説には「このようにべクトル場が定義されていない点がある場合、この点を囲む閉曲面Sとそれによって囲まる領域Dではガウスの発散定理が成り立ちません。」とあります。 質問1ガウスの発散定理を使わずに、発散divv=0をどのように求めたのでしょうか？ 質問2発散divvを求めるのに、偏微分を使って、∂x/∂x+∂y/∂y+∂z/∂z=1+1+1=3では間違いなのはなぜでしょうか？ 質問3divv=0とガウスの発散定理による面積分の公式を使わずに、どのように面積分を求めるのでしょうか？これは単位球面だからdivv=0は無視して、単に球の表面積の公式を当てはめてR=1を代入して求めるしか方法はないのでしょうか？ 以上3点、途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。 (1)を使って、||x||=1より、v(x)= x y z まではわかりました。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル解析ガウスの発散定理の問題がわからないです
円錐面z^2＝x^2＋y^2と平面z＝1で囲まれる閉曲面をSとする。ベクトル場F＝（xz，xyz^2，yz）のS上の面積分をガウスの発散定理を用いて求めよ。 という問題です、詳しく教えていただければ、と思います。（汗
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル解析の問題です
原点からの距離をr(=|r(↑)|とする．φ(r)=1/rで与えられるスカラー場に関して以下の問に答えよ． (1)スカラー場φ(r)の等位面の外形を図示せよ． (2)▽φ(r)を求めよ (3)(▽^2)φ(r)を求めよ (4)等位面に対する単位法線ベクトルn(r)を求めよ．ただし，単位法線ベクトルの向きは，φ(r)が増加する向きとする (5)φ(r)の方向微係数が最大となる方向の単位ベクトルを求めよ． (6)▽φ(r)の点P(位置ベクトルr_p)から点Q(位置ベクトルr_Q)までの線積分∫[P→Q]▽φ・drを求めよ． (7)原点を中心とする半径aの球を考える．この球表面をSとする．S上での▽φ(r)の面積分∫[S]▽φ・dSを求めよ (1)はφ(r)=1/cとすればx^2+y^2+z^2=c^2となるから半径の異なる球を図示していけばいいのですよね？ (2)は計算すると▽φ(r)=-r(↑)/r^3となりましたが，あっていますでしょうか． (3)は0となりました (4)はn=▽φ/|▽φ|として求められますよね？これを計算すると,-r(↑)/rとなりますが，問題には単位法線ベクトルはφ(r)が増加する向きとあります．そのためr(↑)/rとするのか-r(↑)/rとするのかがわかりません．どちらが正しいのでしょうか？またどうすればどちらが正しいのかがわかるのでしょうか (5)nの方向が最大になると思ったのですが，そのまま(4)の答えを用いればよいのでしょうか？ (6)これに関してはまったくわかりません，どなたか教えていただけないでしょうか (7)これはガウスの発散の定理を用いて0となりました． これらの解答があっているかどうかが答えがないためわかりません． もし分かる方がいらっしゃいましたら詳しく教えていただけないでしょうか． よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 立体角に関する基本事項
曲面S上の位置ベクトルr↑ = (x, y, z)、そのユークリッドノルムr = ∥r↑∥とすると、原点OがSの内部にあるとき、ガウスの発散定理 ∬_[S] (r↑ / r^3)・ndS =∫∬_[V] div(r↑ / r^3)dV が使えないのはなぜか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 教えてください!!
以下の問題はすべて発散定理、ストークスの定理が適用できるものとして、 ご解答よろしくお願いします。 １．Ｓを原点中心、半径１の球面とし、このときベクトル場A=( xz )i +( xy )j +( z^2 )k に対して ∫s A・n ds を、発散定理を用いて求めよ。 ２．領域Ｖの境界面をＳとする。このとき、divA=0を満たすベクトル場Ａと任意のスカラー場fに対して ∫s fA・n ds が成り立つことを証明せよ。 ３．中心原点・半径１の球面のx >= 0 となる部分をSとし、球面の外部を表側とする。このとき、 ベクトル場Ａ=(y)i + (yz)j + (xz)k に対して∫s rotA・n ds をストークスの定理を用いて求めよ。 ４．ベクトル場Ａ内に曲面Ｓがあり、その境界の閉曲線をＣとする。△Ａ=０ が成り立つとき、 ∫s grad(divA)・n ds = ∫c rotA・dr を証明せよ。 以上の問題をよろしくお願いします。m(--)m
- 締切済み
- 数学・算数
- 大学のベクトル解析の証明問題の質問です。
次の公式を証明せよ。 div(f▽g)-div(g▽f) = f▽^2g-g▽^2ｆ f,g:スカラー関数 v:ベクトル関数 とする。 という問題です。 わかるかた、丁寧に教えていただけるとうれしいです。 よろしくお願いします。 ▽^2は▽の肩に2が乗っているという意味です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガウスの発散定理を用いる問題
電流密度 j=2x^2(ex)+2xy^3(ey)+2z^2(ez) が与えられている。 （ｊはベクトル、ex,ey,ezはそれぞれx軸y軸z軸に対する単位ベクトル） 単位はA/(m^2)。原点を頂点の一つとして、x,y,z軸にそって一辺の長さが１ｍとなる立方体から外部に流出する全電流をガウスの発散定理を用いて求めよ。 という課題が出されたのですが、難しくてよくわかりません。 ガウスの発散定理は ∫v ∇・F dv = ∫s F・n ds （Fはベクトル、nは法線ベクトル） だと思うのですが、Fに何を代入すればいいのか…。 そもそもこれで何が求まるのかわかりません…。 どなたか教えてください!お願いします。
- 締切済み
- 物理学
- ガウスの発散定理を用いる問題
電流密度 j=2x^2(ex)+2xy^3(ey)+2z^2(ez) が与えられている。 （ｊはベクトル、ex,ey,ezはそれぞれx軸y軸z軸に対する単位ベクトル） 単位はA/(m^2)。原点を頂点の一つとして、x,y,z軸にそって一辺の長さが１ｍとなる立方体から外部に流出する全電流をガウスの発散定理を用いて求めよ。 という課題が出されたのですが、難しくてよくわかりません。 ガウスの発散定理は ∫v ∇・F dv = ∫s F・n ds （Fはベクトル、nは法線ベクトル） だと思うのですが、Fに何を代入すればいいのか…。 そもそもこれで何が求まるのかわかりません…。 どなたか教えてください!お願いします。
- 締切済み
- 物理学
