複素関数：負符号のせいで計算が合いません
P∫_[-∞,∞] { (cos(kx)) / (a^2-x^2) } dx = π/a sin(|k|a)
最後の最後で負符号が付いて計算が合いません。
部分分数分解をして
= 1/(2a) P∫_[-∞,∞] {1/(a-x) + 1/(a+x)}e^(kx) dx
二つの項に分けて、前の項には負を掛けてxとaを逆にします
= -1/(2a) P∫_[-∞,∞] {1/(x-a)}e^(kx) dx + 1/(2a) P∫_[-∞,∞] {1/(x+a)}e^(kx) dx
前の項
∫_c {1/(z-a)}e^(kz) dx
f(a) = e^(ka)
I_1 = -1/(2a)*πi*e^(ka)
= -(πi)/(2a)*{cos(ka)+i sin(ka)}
= -(πi)/(2a)*cos(ka)-(πi^2)/(2a) sin(ka)
= -(πi)/(2a)*cos(ka)+π/(2a) sin(ka)
後の項
∫_c {1/(z+a)}e^(kz) dx
f(a) = e^(-ka)
I_2 = 1/(2a)*-πi*e^(-ka)
= (-πi)/(2a)*{cos(-ka)+i sin(-ka)}
= (-πi)/(2a)*cos(-ka)-(πi^2)/(2a) sin(-ka)
= (-πi)/(2a)*cos(-ka)+π/(2a) sin(-ka)
cos xは偶数関数、sin xは奇数関数
= (-πi)/(2a)*cos(ka)-π/(2a) sin(ka)
I_1 + I_2
= -(πi)/(2a)*cos(ka)+π/(2a) sin(ka) + (-πi)/(2a)*cos(ka)-π/(2a) sin(ka)
= (-2πi)/(2a)*cos(ka)
= (-πi)/(a)*cos(ka)
本来ならば、I_2のsinの項は正になって、
その実部をとって正解となるはずなのですが、消えてしまいました…。
どこで要らない負符号を付けてしまったのかご指摘ください。
絶対値が付く理由は…この際、別にいいです（苦手）。では、お願いします。
お礼
早速回答ありがとうございました。 ハワイアンソングと明記して再度質問してみます。