くじの連続当たり回数の期待値（平均値）

質問

よろしくお願いします。

当たる確率が p のくじで、当たったらくじを戻してまた引くという操作を続け、外れたらやめる、としたとき、
当たりの連続回数の期待値は、
1/(1-p)　－　１　＝　p/(1-p)
になります。
これについて、過去のＱ＆Ａを見つけました。
http://okwave.jp/qa/q1339851.html
Ｎｏ．４の回答は、最後に１を引くことを忘れているものの、私にはよく理解できます。
しかし、Ｎｏ．３とＮｏ．５のシンプルな回答の意味がわかりません。

特に、Ｎｏ．５については、物理その他でよく出てくる
ｄＮ／ｄｔ　＝　－λＮ
（λ：　１個１秒当たりの減少・壊変・故障などの確率）
という形の式から、平均寿命が　１／λ　と求まることとも関係があるような気がしますが、これもわかりません。

どなたか解説をお願いいたします。

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

考え方としては幾何分布の期待値を求めることになります。

連続してひじを引く回数の平均 xは
x = Σ[n＝1→∞] n* p^(n-1)* q　　　(ただしp+q=1)
で求められますが、まずこれの両辺にpをかけます。
px = Σ[n＝1→∞] n* p^n* q
また、
Σ[n＝0→∞] p^n* q = 1
なのでこれを加えると
px+1 = Σ[n＝1→∞] n* p^n* q + Σ[n＝0→∞] p^n* q
= Σ[n＝1→∞] (n+1)* p^n* q + q
= Σ[n＝2→∞] n* p^(n-1)* q + q
= Σ[n＝1→∞] n* p^(n-1)* q
= x
となります。

ANo.4で求めている期待値は、回答の最初で確認しているとおり、当りの連続回数が0の場合を含めない場合です。
だから1を引くのを忘れていたわけではないと思います。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%88%86%E5%B8%83

お礼

丁寧に解説していただき、ありがとうございました。

補足

あらためまして３名様に感謝を申し上げます。
まだ直感的に飲み込めていないのですが、月末ですので締め切ることにいたしました。
申し訳ありませんが、ベストアンサーは乱数による抽選で決めさせていただきました。
ご了承ください。

回答No.3

Tacosan

「右辺の 1」は (最後の外れを引く 1回でもいいけどむしろ) 「最初の 1回」と思ってもらえるとありがたい＞#1.

端的に言えば「1回引いてあたりなら最初に戻る」というだけなんだけど, ちとプログラム的な説明をば.

あっちの #3 では「はずれを引くまで連続して何回くじを引くか」ということで最後のはずれの分も数えてますが, 以下では「当選回数」だけを考えます (だから 1 だけ差ができることに注意).

「連続して何回あたりを引くかを数える」という操作は次のように書くことができます:
1. 「連続当選回数」を 0 にする
2. くじを引く
3. 外れたら終わり
4. 「連続当選回数」を 1 増やして 2 に戻る

これを, 次のように展開してみます:
1. 「連続当選回数」を 0 にする
2'. くじを引く
3'. 外れたら終わり
4'. 「連続当選回数」を 1 にする
2. くじを引く
3. 外れたら終わり
4. 「連続当選回数」を 1 増やして 2 に戻る

この 2つの操作は全く同じですから, 最終的に得られる「連続当選回数の期待値」も一致しなければなりません. で, この「連続当選回数の期待値」を x としてみます. すると, 前者における期待値は当然 x そのものです. 一方後者では
・3' で外れて終わる: 生起確率は 1-p でこのとき得られる期待値は 0
・3' で当たって 4' 以降に進む: 生起確率は p, 得られる期待値は (2～4 だけなら x 自身なんだけど 4' で 1 増えているので) 1+x
なので (1-p)・0 + p・(1+x) = p(1+x) と表すことができます.
既に書いたようにこの 2つの期待値は一致しなければならないので
x = p(1+x), つまり x = p/(1-p)
です.

「連続してくじを引く回数」だと後者のうち前半 (3' で外れて終わる) の期待値が 0 から 1 に変わって
x = (1-p)・1 + p・(1+x) = 1+px.

お礼

詳しく解説していただき、ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
えらく昔の質問からですね。＾＾；

No.3さんの解答ですが、
xが引く回数の「平均」となっているので、期待値を考えていることになるかと。
x回引いたとき、当たりは px（＝ 0.8x）回含まれているはずだということから、
シンプルに計算していることになると思います。
（右辺の 1は最後のはずれを引く 1回のことだと）

No.5さんの解答は、確かに物理で出てくる「平均寿命」の考え方と同じですね。
確率変数：n、確率：p^(n-1)* pなので、これの期待値（無限回までの値）を計算します。
つまり、Σ[n＝1→∞] n* p^(n-1)* pの計算で求めることができます。

あと、↓が端的に説明してくれていますね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%AF%BF%E5%91%BD#.E7.B4.A0.E7.B2.92.E5.AD.90.E3.81.AE.E5.B9.B3.E5.9D.87.E5.AF.BF.E5.91.BD

お礼

丁寧に解説していただき、ありがとうございました。