流体、容器の水が半分になるまでの時間

質問

一様な断面積Sを持つ容器に高さHだけ水が入っている。この底面に面積aの小孔をあけたとき、
水が半分になるまでの時間はどれだけか？ただし重力加速度をgとする。

というもんだいがわかりません。教えてください

回答No.4

masa2211

do_ra_ne_koさんのを勝手に補足させてもらうと、

＞ｑ＝a √（２ｇｈ） ではなく、縮流係数（約0.6)を掛けねばならない
とあるので、
＞Ｔ　＝(1/a) {Ｓ/ √（２ｇ）}*2(√H　－√(Ｈ/2))
は、
Ｔ　＝(1/a*C) {Ｓ/ √（２ｇ）}*2(√H　－√(Ｈ/2))
となります。

------補足終わり。以下蛇足。

実務では、更に近似を重ね、非常に泥臭いやりかたをします。積分は使いません。
ただし、授業で以下の方法を答えたら、アウトの可能性があります。

農水省の土地改良基準－ため池編に記載されている方法（中央差分を使う。）
全体の水の体積は、V=s*H/2
平均の水深は、(H+(H/2))/2=0.75H
よって、平均流量は、q=c*a*√（2g*0.75H）
水位低下にかかる時間は、T=V/q

別法。（台形差分を使う。）
T=0における流量は、 q0=c*a*√（2g*H）
T=endにおける流量は、qe=c*a*√（2g*H/2）
平均流量は、q=(q0+q1)/2
水位低下にかかる時間は、T=V/q

乱暴に見えますが、積分した場合に対し、誤差1.5%くらい。
縮流係数0.6といっても、0.60～0.65くらいに変動する中の0.6の意味なので、
積分を差分に置き換えたための誤差1.5%ならオンの字です。
※水位がHからゼロに落ちるなら、さすがに乱暴なので、
　水位がH～0.8H 0.8H～0.6H.....0.2H～0　　のように分割し、それぞれの時間を足します。
　分割は、例です。かなり適当でいいです。

回答No.3

do_ra_ne_ko

あんまり難しく考えなくても・・・・・
単位を適当にとり、大ざっぱな話とすれば、

　　水位が　ｈ　のときの流出速度　ｖ　は　ｖ＝√（２ｇｈ）　m/s です。
　　単位時間の流出量　ｑ　は　ｑ＝ｖa ＝a √（２ｇｈ） m^3/s です。
元の水量　Ｑ　は　Ｑ＝ＳＨ　　m^3 です。

水量が　Ｑ/２ になる時間が知りたいわけですので
　　　　　　Ｑ/2　＝ＳＨ/2 ＝　∫ｑ　ｄｔ　＝　∫a √（２ｇｈ） ｄｔ ・・・・・・・・（１）
このままでは肝心の積分ができない。

そこで微小時間に流出する水量と、水位低下の関係を求めると

　　a ｑ ｄｔ＝－Ｓ ｄｈ　（ｈ　は底から測った水位なので負号がつく）

　　ｄｔ＝－(1/a) {Ｓ/ √（２ｇｈ）} dh ＝－(1/a) {Ｓ/ √（２ｇ）}　ｈ＾（-１/２） ｄｈ　 ・・・・・・（２）

　（２）　式を　ｔ＝０　から　ｔ＝Ｔ，　ｈ＝Ｈから　ｈ＝Ｈ/2 まで積分する

　　　　　　　　　Ｔ　＝(1/a) {Ｓ/ √（２ｇ）}*2(√H　－√Ｈ/2)

　　　　　　　　　　　＝(Ｓ/a) *｛√（Ｈ／（２ｇ）｝＊（２－√２）

このＴが半量になる時間だが、実際は穴 a から流出する流量は　
ｑ＝a √（２ｇｈ） ではなく、縮流係数　約 0.6
を掛けねばならないので、上記の計算値より長い時間がかかる。

でも大ざっぱな話ならこれでよいでしょう。

回答No.2

jaaam_1977

こんにちは
この問題は工学の分野にある水理学の典型的な問題です．
No.1さんのおっしゃるとおり厳密な流体の挙動をもとめるには，複雑な解法を求めなきゃいけませんが，水理学では種々の近似をもちいることで手計算で解けるようになります．

今回の場合，容器の上と下でベルヌーイの定理をたてて，せきぶんすれば求まるはずです．

回答No.1

usokoku

範囲が広すぎて、一版的な内容しか答えられません。
http://chemeng.on.coocan.jp/fl/fl_home.html
を眺めて、必要な方程式を立てる。
ニュートン流ならば、簡単に方程式が立てられるでしょう。

後は数値解を求めるだけです。

ところが、ニュートン流以外ですと
http://web.kyoto-inet.or.jp/people/macchann/hiroshi/Rheology.html
となって、方程式は立っても係数が見当つかない。
しかも、固まる性質がある場合は、流出せずに凝固するのみ。かといえば、ちょっと温度を上げると極端に流動性が出てくる流体、チョコレート、なんて物があります。室温程度の温度ではチョコレートは固まっていますが結晶構造は取っていません。粘性のきわめて高い流体です。これが、37度を超える(本物のカカオ製の場合)とどろどろになって流れ出すという性質があります。

「流体」と書いてあるだけで、温度依存性はわからないでしょう。
温度一定、という条件ではないですよね。

空隙率の問題があります。広義の「流体」として、流体工学の一分野に粉体工学という分野があります。身近な例としては、学校の運動会などで使われる白線の粉。袋の中に手を入れてかき混ぜると簡単に動かせます。しかし、袋に入っているまま開封しないとある程度硬さがあります。粉を大きくしてゆくと、たとえば、5-10cmくらいのガラスの破片。ガラス自体はガラス転移点なんて名称が有る通り粘性の高い液体です。液体ですから十分な時間があればそのうち合一するでしょう(何万年先かわかりませんが)。合一して全体でひとつの塊にならないと隙間から流れ出ない(圧が不足している)なんて性質も、想定しなければなりません。

もう少し範囲を狭めていただけませんか。
ニュートン流、外気との混合がない(例、中身がガスですと、上部開放面からの拡散を考慮する必要が出てくる)、温度がが一定で粘度の変かがない、出口穴の流入圧力損失や流出圧損が推定できる構造(たとえば無限平板で近似可能)とか、
かなり広くて回答が困難です。