水圧はいくらから（ネット掲示板で見た問題）

質問

ネットサーフィンしてたら見かけた問題です。
断面積S、高さHの円柱容器の上に穴を開けて、断面積s、高さhのパイプを垂直につなげます。そしてそうして作った凸型の容器を完全流体で満たしします。
そのとき、円柱容器内の最底面にかかる圧力Pはどう表されますか？
ただし重力加速度g流体密度ρです

ネットではパイプの断面積によらず、深さh＋HだからP=ρ（h＋H）gだと言われてましたが、自分でやると
最底面にかかる力F=パイプ内の流体重さ＋円柱容器内の流体重さ=ρ（sh＋SH）g
よってFを最底面の面積で割ってP=ρ（hs/S＋H）が求まり、その大きさはパイプの断面積によるとなりました

でも例えばパイプが湖くらい広くて、円柱容器が地底洞窟にみると、
湖の断面積と地底洞窟の断面積の比率に関係なく、hだけ潜ったらρhgだけ圧力がかかる気がします

教えてください!

回答No.5

noname#175206

もし、高さHの円柱容器が上面が密閉されていない状態であれば、その上面（水面）に高さhのパイプをつないで水で満たそうとしても、水はたまらずに高さHの円柱容器に逃げて行きます。

　ということは、高さHの円柱容器が上部も含めて密閉されているから、高さhのパイプに水が溜められるわけです。

　これは、パイプからの水圧が直接押しているのは円柱容器に接続した穴だけですけれど、同時に円柱容器上面の穴以外の部分も、それより下の水を圧力で押し下げているということを意味しています。

　では、穴以外の部分の圧力はどのくらいかということになります。円柱容器上面がピストンのように自由に動けるとし、さらに円柱容器側面がずっと上にに面積S－sで伸びているとし、高さLの水を乗せて、パイプの水と釣り合っているとします。

　計算しなくとも、高さL＝hであることは分かります。もっと上まで考慮した円柱容器では、動ける穴付の蓋とパイプで、単に仕切られているだけの状態ですから、L≠hですと釣り合いが崩れます。

　もし円柱容器がピストンのようであれば、パイプの水と同じ高さの水を満たした状態で安定できるわけですね。

　元の円柱容器の蓋が動かない装置に戻って考えると、パイプの断面積と円柱容器の断面積が異なっていても、円柱容器の穴以外の蓋の部分もパイプからの圧力と同じ圧力を加えることになります。つまり、パイプから円柱容器への断面積変化に関係なく、水の最終的な高さだけで水圧が決まることになります。

　これは、パイプの断面積が円柱容器の断面積より大きくても同じです。その場合は、円柱容器からはみ出たパイプの底が圧力を受けて支え、その部分の力を円柱容器へは伝えません。

　これは、たとえば海の底の海溝に潜って行っても、広い海底面から狭い海溝に入っても水圧が急変したりせず、単に深度だけで水圧が決まって行くといったことと合致しています。

P.S.

　お示しの装置は、パイプと円柱容器で作った、ある種のてこのような状態と言えます。小さな力を大きな力にする代りに、もしそれで仕事をさせれば、大きな移動距離が小さくなって力学的エネルギーが保存される現象です（または、その逆）。

　お考えの計算は、流体ではなく固体のときに成り立つものです。固体の場合は、固体自体がさらに加えられた荷重の力を分散していきます。棒（元のパイプ）が円柱（元の円柱容器）中央でなければ、斜めに力が加わることになり、底面での圧力は偏りが生じます。

回答No.4

foomufoomu

>水が流体だから※の力が足されると考えたんですが、あってますか？
たぶんあっていると思いますが、「抗力」が何が何に抵抗する力なのかよくわかりません。

こう考えたほうが自然ではないでしょうか。
パイプの水による力　f = ρshg
下容器から穴の部分にかかる力　= -f　(パイプからの力と釣り合う)
穴と天井は同じ圧力なので
下容器の天井面の圧力 -p = -f/s　(上向きなのでマイナス)
天井の圧力で生じる下向きの力(天井にかかる力の反力)
　F1 = p*(S-s)
これに穴からの力を足して　F = F1+f
　= p*(S-s) + p*s
　= p*S = ρshg/s*S = ρShg
下の容器の水の重さ　W= ρSHg
これにFを足して底面にかかる力は　F2=F+W
　= ρShg + ρSHg
　= ρS(h+H)g
底面の圧力　= ρ(h+H)g

回答No.3

okormazd

流体の性質と剛体（固体）の性質を混同しているようです。また、圧力と力についても混同しているかもしれません。

流体の固体にない性質として、パスカルの原理というのがあります。　簡単に言えば、「密閉容器では、流体の一部の圧力は流体全体に伝わる」というものです。
質問の場合、パイプより下の円柱を密閉容器とみれば、パイプと円柱の境界の圧力は、円柱全体の流体に伝わるということです。当然円柱の底面にも同じ圧力が働きます。この圧力と、円柱の流体から生じる圧力が、底面に加わることになり、それは、流体の高さだけに依存し、パイプや円柱の断面積には関係がないことになります。

パイプ部分を流体の密度と同じ固体のピストンで置き換えてパスカルの原理を適用するのと同じです。

パイプ部分を流体、円柱部分を固体、あるいは全体を固体とすれば、境界部分の圧力(応力)は円柱部分の固体全体には伝わらない、伝わるのは、境界部分に働くパイプ部分からの力で、質問者の計算のようになります。

回答No.2

foomufoomu

下の容器と上のパイプの接続部（断面積ｓの部分）では、上からの力と下からの力が釣り合っていますから、ここでは上からの圧力と下からの圧力が等しいことになります。
一方、ごくわずかな距離だけ下の断面積Ｓの部分をみると、下の容器の天井に小さな穴があいているように見えます。ここでは、天井にも穴にも同じ圧力がかかっています。
つまり下の容器の圧力による力の大部分は天井を押す力になって、上のパイプの圧力による力に対抗しているのはほんの一部だけです。なので、この場合は圧力の釣り合いだけ考えればよい（面積の違いを考える必要はない）という結果になります。

お礼

回答ありがとうございます。
容器の水をひとかたまりとみて注目し力を書き直してみました
下向きを正とします。パイプの水による力ρshg
容器の水の重さρSHg
円柱容器上部ののパイプにつながってない部分が与える抗力ρhg（S-s）……※
円柱容器底面が与える抗力-F
水の重心は動かないのでこれらの合力はゼロだからF=ρS（H＋h）g
抗力は底面に与える力とひとしいから、底面に与える圧力は底面面積で割ってρ（h＋H）g
水が流体だから※の力が足されると考えたんですが、あってますか？

回答No.1

jaham

質問の中間の部分は　圧力と面にかかる力が混乱しているからです

最初と最後は正しい