数学の問題です

質問

以下の2題の解き方を教えてください。

(1)lim x→1 x-1分のa√x＋1－b＝√2

のaとbの値を求める問題です

ちなみに√のところはわかりにくいのですが
最初の√はx＋1までがくくられています。

もう一題はlim　x→－2｛1－（x＋2）2乗分の1｝を求めよです

お願いします

回答No.2

info22_

(1)
lim[x→1] {a√(x+1)-b}/(x-1)=√2…(A)
x→1の時、分母→0だから、極限値が存在するには、分子→0でならなければない。
a√(x+1)-b→a√2 -b=0 ∴b=a√2…(B)
したがって
lim[x→1] {a√(x+1)-b}/(x-1)=lim[x→1] a{√(x+1)-√2}/(x-1)
分子の有理化をして
=lim[x→1] a{(x+1)-2}/{(x-1)(√(x+1)+√2)}
(x-1)で約分して
=lim[x→1] a/{√(x+1)+√2}
すると極限が存在しそれが求める極限値に等しくなるようにaを定めれば良いから
=a/(2√2)=√2
∴a=4…(C)
(B)から　b=4√2…(D)
これらのa,bを(A)の左辺に代入すれば
lim[x→1] {a√(x+1)-b}/(x-1)=lim[x→1]{4√(x+1)-4√2}/(x-1)
=4*lim[x→1]{√(x+1)-√2}/(x-1)
=4*lim[x→1]{(x+1)-2}/[(x-1){√(x+1)+√2}]
=4*lim[x→1] 1/{√(x+1)+√2}
=4/(2√2)=√2=右辺
となることが確認できる。
したがって（C),(D)のa,bが答えである。

(2)
どれですか？
lim[x→-2] 1/{1-(x+2)^2}=1
lim[x→-2] {1-1/(x+2)^2}=発散(-∞)

回答No.1

noname#185706

(1)
極限をとる関数は
f(x) = {a √(x+1) - b}/(x-1)　(1）
ですね。
x → 1 で分母 → 0 ですから、f(x) が有限の極限値をもつためには、x → 1 で分子も → 0 でなければなりません。よって
a √2 - b = 0 。
これから
b = (√2) a 。　(2)
(2)式を(1)式に代入すると
f(x) = {a √(x+1) - (√2)a}/(x-1)
　　　= a {√(x+1) - √2}/(x-1)
　　　= a {√(x+1) - √2}{√(x+1) + √2}/[(x-1){√(x+1) + √2}]
　　　= a {(x+1) - 2}/[(x-1){√(x+1) + √2}]
　　　= a (x-1) / [(x-1){√(x+1) + √2}]
　　　= a/{√(x+1) + √2}
よって、x → 1 で
f(x) → a/(2√2) 。
極限値は √2 なので
a/(2√2) = √2 。
これより
a = 4 。
この値を(2)式で使って
b = 4√2 。

(2)　
極限をとる関数がわかりにくいのですが、もし
g(x) = 1 - {1/(x+2)^2}
であれば、x → -2 で (x+2)^2 → +0 なので、{1/(x+2)^2} → +∞ となり、g(x) → -∞ です。