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円周率が割り切れない事について
boisewebの回答
- boiseweb
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#3さんの解答と少々かぶりますが… 何をもって「数学で表現できる」と思うか,によるでしょう. 円周率を 3.1415... と記述しようとすると,たしかに,有限の桁数で記述を完結させることはできません.しかし,これは円周率が「(有限桁の)10進小数表記という記述方法では」記述できない,ということしか意味しません. 数学では,円周率を「円の円周と直径の比の値」と定めて,それにπという記号を付与しています.これはつまり,数学では円周率は「円の円周と直径の比の値」という文言をもって,あるいはπという記号をもって『表現できている』ことを意味するのではないですか? √2 にしても,数学では「『x^2=2 かつ x≧0』をみたす実数 x」という言葉をもって『表現』できます.あるいは,√記号を使った √2 という書き方で,すでに『表現できている』と言っても間違いではありません. 「10進小数表記という記述方法では」 √2 は(有限桁では)表現できない,というだけのことです. 要するに,「(有限桁の)10進小数表記」という数の記述方法は記述能力の限界が比較的低くて,円周率や √2 は「その記述方法の」記述能力の限界を超えたところにある,というだけのことです. 数学をする人はそういうことを十分わかっていて,だからこそ,πや√という記号を導入するなど,さまざまな手段を使って,10進小数で書き表せない数をも「表現」して,数学で扱えるようにしているのです. ところで,円周率や √2 の例は,ある数を「定義できる」ことと「値を計算できる(たとえば,10進小数で書き表せる)」ことの間には大きなギャップがあることを示しています. 下記の本で,このギャップについて詳しく述べています.一読をすすめます. 新井紀子・新井敏康(著)「計算とは何か(math stories)」東京図書
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