円周率が割り切れない事について

質問

ふと思ったのですが、
円周率や√2など割り切れない数が世の中にはあると思いますが、
これは数学では表現できないということなのでしょうか。
コンパスで円を書こうと思えば誰でもかけると言う事実と、
3.1415・・・と永遠に羅列されて終わりのない数字にギャップを感じるのですが。

回答No.1

jk39 · ベストアンサー

円周率(π)が割り切れないというのは、
暗黙的に10進法で割り切れないことだと思います。

仮にπ進法で表現するなら、
円周率は割り切れます。

別の例だと10進法の0.1は、
コンピュータでよく用いる2進法で表現すると、
割り切れません。

要はどんな表現法でも零れ落ちる情報が出てしまうのではないでしょうか。
たまたま数学では10進法で表現しているだけと考えてみては？

お礼

ご回答有難う御座います。

なるほどπ進法なら割り切れますね。
何か数学に変わる表現方法でもあるのではないかと思ったりしました。

回答No.5

noname#194289

回答ではないのですが私もギャップを同じように感じます。どなたかが書いておられるルートでもギリシャ時代にピタゴラスの定理で１，１、ルート２の直角三角形で作図は可能なのに割り切れないルート２が大きな問題になっていたというのも同じ感じがします。

お礼

ご回答ありがとうございます。

現実には存在するのに、数字では表現できないというのは本当に不思議な感じがします。

回答No.4

boiseweb

#3さんの解答と少々かぶりますが…
何をもって「数学で表現できる」と思うか，によるでしょう．

円周率を 3.1415... と記述しようとすると，たしかに，有限の桁数で記述を完結させることはできません．しかし，これは円周率が「（有限桁の）10進小数表記という記述方法では」記述できない，ということしか意味しません．
数学では，円周率を「円の円周と直径の比の値」と定めて，それにπという記号を付与しています．これはつまり，数学では円周率は「円の円周と直径の比の値」という文言をもって，あるいはπという記号をもって『表現できている』ことを意味するのではないですか？

√2 にしても，数学では「『x^2=2 かつ x≧0』をみたす実数 x」という言葉をもって『表現』できます．あるいは，√記号を使った √2 という書き方で，すでに『表現できている』と言っても間違いではありません．
「10進小数表記という記述方法では」 √2 は（有限桁では）表現できない，というだけのことです．

要するに，「（有限桁の）10進小数表記」という数の記述方法は記述能力の限界が比較的低くて，円周率や √2 は「その記述方法の」記述能力の限界を超えたところにある，というだけのことです．
数学をする人はそういうことを十分わかっていて，だからこそ，πや√という記号を導入するなど，さまざまな手段を使って，10進小数で書き表せない数をも「表現」して，数学で扱えるようにしているのです．

ところで，円周率や √2 の例は，ある数を「定義できる」ことと「値を計算できる（たとえば，10進小数で書き表せる）」ことの間には大きなギャップがあることを示しています．
下記の本で，このギャップについて詳しく述べています．一読をすすめます．

新井紀子・新井敏康(著)「計算とは何か(math stories)」東京図書

お礼

ご回答ありがとうございます。

10進小数表記で表現できないという事は何を意味するんでしょうね。
単なる表記法の不完全さか、或いは何かの暗示か。
そう考えると数学も神秘的な感じがします。

回答No.3

noname#208392

あ、その御質問、面白いですね。

似たような話としてこういう話があります。
家から近所のスーパーに買い物に行くとします。あなたは途中で家-スーパーのちょうど半分の点にたどり着く必要があります。半分の点にたどり着くには半分の半分の地点を、その半分の半分の地点に着くには半分の半分の半分の地点を・・・・・・・それぞれ通過しなければなりません。家からスーパーまでの距離は無限個の部分からなっていますが、無限に時間がかかるということはありません。

収束する無限級数だから・・・というのは#2さんも書かれていますね。とはいえ、なかなか感覚的につかみ難いものです。上の無限個の部分からなる距離の話は、今から2500年くらい前から言われている例です。
ちなみに、πも無限級数で表す方法があるんですよ。この方法でスパコンで何十万桁とか計算しているのです。

>これは数学では表現できないということなのでしょうか。
そんなことはありませんよ。何桁であらわす、というのは数学では重要ではありません。πの定義、というものがあって、πというのはそういう数だ、ということだけが重要なのです。

無限、というテーマはとても興味深い数学のテーマのひとつだと思います。例えば、自然数と整数ではどちらがたくさんあると思いますか？どっちも無限個で数は同じです。では、有理数は無限個ありますね。無理数も無限個在ります。でも無理数の数の方が有理数の数より多いんですよ。

・・・・って、ちっとも回答になってない！！！失礼しました m(；。_。)m

お礼

ご回答ありがとうございます。

現実には存在しているが、数学上ではnearとしてしか表現できない・・・・
不思議ですね。

回答No.2

noname#129118

無限級数だから

お礼

ご回答有難う御座います。

この無限というのもなんだか分かるようで分からないですね。
無限はたくさんの有限の集まりなのか、それともまったく別のものなのか。