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∫xe^xsin(x)dx=x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1(∫
∫xe^xsin(x)dx=x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1(∫xe^xsin(x)dx)dx この式変形がわからないのですが。ご教授ください。
- rinnkoxxxx
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>もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で 部分積分法の応用です。 (xe^xsin(x))’=e^xsin(x)+xe^xsin(x)+xe^xcos(x) より、 xe^xsin(x)=∫e^xsin(x)dx+∫xe^xsin(x)dx+∫xe^xcos(x)dx 同様に、 xe^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx+∫xe^xcos(x)dx-∫xe^xsin(x)dx 2式の差をとると、 xe^xsin(x)-xe^xcos(x)=∫e^xsin(x)dx-∫e^xcos(x)dx+2∫xe^xsin(x)dx より、 ∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx)/2 あとは、∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dxが分かればいいですね。 上記と同じ方法で、 (e^xcos(x))’=e^xcos(x)-e^xsin(x) より、 e^xcos(x)=∫e^xcos(x)dx-∫e^xsin(x)dx なので、 ∫xe^xsin(x)dx=(xe^xsin(x)-xe^xcos(x)+e^xcos(x))/2 (積分定数は省略しています)
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- nag0720
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部分積分法 ∫f(x)g’(x)dx=f(x)g(x)-∫f’(x)g(x)dx で、 f(x)=x g(x)=∫xe^xsin(x)dx とすると、 f’(x)=1 g’(x)=xe^xsin(x) ∫x*xe^xsin(x)dx=x∫xe^xsin(x)dx-∫1*(∫xe^xsin(x)dx)dx 右辺は同じですが左辺が違いますね。
補足
問題自体が間違ってるんでしょうかね・・。
- Mr_Holland
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ANo.2です。 >x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1・(∫xe^xsin(x)dx)dx >=(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)∫e^x(sinx-cosx)dx >=(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)e^xcosx+C >とあります。 これが解説に書かれているとおりだとすれば、問題の式の解説にはなっていません。 積分した結果 (1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)e^xcosx を微分してみれば分かりますが (x+1)e^x*sin(x)-e^x*cos(x) となって 元の被積分関数 xe^x*sin(x) にはなりません。 問題か解説に誤りがあると見た方がいいでしょう。
補足
微分するとxe^xsinxになりませんか?僕の計算ミスでしょうか・・。
- Mr_Holland
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>もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で「ハイレベル理系数学」の例題40にある問題なんですが・・。 それで右辺は 何に書いてあったのですか? 右辺を微分しても xe^xsin(x) にはなりませんよ。
補足
x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1・(∫xe^xsin(x)dx)dx =(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)∫e^x(sinx-cosx)dx =(1/2)xe^x(sinx-cosx)-(1/2)e^xcosx+C とあります。
- Mr_Holland
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ご質問の式に誤記はありませんか? 左辺を積分を実行しても右辺にはなりませんし、右辺を微分しても左辺の被積分関数にはなりません。 左辺の積分の式が ∫ x^2 e^xsin(x)dx の誤りだとしたら、x と xe^xsin(x) に分けて部分積分していると理解できるのですが。
補足
もともとは「∫xe^xsin(x)dxの不定積分を求めよ」という問題で「ハイレベル理系数学」の例題40にある問題なんですが・・。
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お礼
わかりやすい解答ありがとうございます。 ただ最初に質問したように「∫xe^xsin(x)dx=x(∫xe^xsin(x)dx)-∫1(∫xe^xsin(x)dx)dx」がなぜいえるのか知りたいんです。