行列の証明

質問

高校の基礎的な知識だったような気がしますが
忘れてしまいました。教科書とかあげてしまって
残ってないので教えて下さい。

行列AがあってA^nを求めろという問題で
A^2、A^3と出せばある程度A^nが予想できますが
それを帰納法で証明しなければいけないですよね？
それってどうすればいいんでしょうか？

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

suh84さん、こんにちは。

＞行列AがあってA^nを求めろという問題で
A^2、A^3と出せばある程度A^nが予想できますが
それを帰納法で証明しなければいけないですよね？

そうですね。それが手っ取り早い方法だと思います。
A^2,A^3・・・と計算してみて、それぞれの成分の規則性を見つけておくんですね。
それで、A^nを、まずは予想します。
それから数学的帰納法で証明すればいいですね。

＞それってどうすればいいんでしょうか？

ちょっと簡単すぎる例なんですけど
　　1　0
A=(　　)
　　0　2

という行列だったとしますね。
　　　1　0
A^2=(　　)
　　　0　4

となりますよね。
　　　　1　0
A^n=(　　　)　・・・・・（☆）
　　　　0　2^n

だと予想します。

（☆）はn=1のときに成り立つ。

n=kのときに成り立つとすると、
　　　1　0
A^k=(　　)
　　　0　2^k

ですから、これにさらにもう一度、Ａを実際にかけてみるのです。
　　　　　　　　　　1　　0　　1　　0
A^(k+1)=A^k*A=(　　　)(　　　　）
　　　　　　　　　　0　　2^k　0　　2
　　1　0
=(　　　　　　）
　　0　2^(k+1)

となるので、これは、（☆）がn=k+1のときも
成り立つことを示しています。
よって、すべての自然数nについて、(☆）は成り立つ。

このように、予想してから、帰納法で証明すれば完璧だと思います。

回答No.2

tokomath

ある程度複雑な行列になるとパターンを見つけるのも大変ですよね？
そこでもし対角化できるならば
行列Ａの固有値と固有ベクトルを求めて
Ｐ^(-1)ＡＰ＝Ｂ　　（Ｐは固有ベクトルを並べたもの、Ｐ^(-1)はＰのインバース、Ｂは固有値を対角成分に並べたもの）
とすれば
Ａ＝ＰＢＰ^(-1)
なので
Ａ^n＝ＰＢＰ^(-1)ＰＢＰ^(-1)…ＰＢＰ^(-1)
　　＝ＰＢ^nＰ^(-1)
となります
Ｂ^nは対角成分のｎ乗なので簡単に求まりますよ。
こういうのはどうでしょうか？