• ベストアンサー
※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:代入法なのに、逆の確認をしない??)

代入法なのに、逆の確認をしない??

dfhsdsの回答

  • dfhsds
  • ベストアンサー率28% (2/7)
回答No.3

x^nをx^2-x-12で割ったときの余りは、1次式なので、 ある実数a,bが一意的に存在して、ax+bとかけるから。 a,bが1組求まれば、それが解になります。 なお、n=0,1でも成り立ちます。

関連するQ&A

  • 十分性の確認について

    数学の剰余の定理の問題でわからないことがあります。たとえば、 整式P(x)をx-1で割ると余りは5、x-2で割ると余りは7となる。このとき、P(x)をx^2-3x+2で割った余りを求めよ。 という問題で、参考書の解答では、 P(x)をx^2-3x+2で割った商をQ(x)、余りをax+bとおくと P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b 条件から P(1)=5 P(2)=7 a+b=5 2a+b=7 よってa=2 b=3 求める余りは2x+3 となっているのですが、ここで十分性の確認は必要ないのでしょうか。恒等式の数値代入法でも十分性の確認が必要だったように、この 問題でも必要な気がするのです。xが1と2の場合しか考えていないので、他のxでも成り立つ保証はないと思うのですが… 教えてください。お願いします。

  • 余り

    nが自然数のとき、x^nを(x-1)^2で割った余りを求めよ。 という問題で、 商をQ(x)としてx^n=(x-1)^2Q(x)+ax+b x=1のとき1=a+b としましたが、この後どうすればいいのかわかりません。 どなたかアドバイスをお願いします。

  • x^n-1を(x-1)^2で割った時の余り

    x^n-1を(x-1)^2で割った時の余りを求めよという問題があります。 nは2以上の整数とします。 (ちなみに、「xのn-1乗」ではなく、「xのn乗-1」です。) この問題は、まずx^n-1を(x-1)^2で割った時の商をQ(x)、余りをsx+tとおいて、 x^n-1=(x-1)^2Q(x)+sx+t―(1) という等式を作ります。 そして、両辺にx=1を代入して0=s+t、変形してt=-sという式を得ます。―(A) これを(1)に代入し(文字を減らし)、次に x^n-1=(x-1)(x^n-1+x^n-2+…+1) であることを利用して(1)との組合せで解くのですが、腑に落ちない点があります。 上記の(A)でxに1を代入してtとsの関係式を求めていますが、なぜt=-sを(1)の式に代入できるのでしょうか? 何が言いたいかといいますと、 「t=-sはx=1の時だけ成り立つのでは?この解答を読んでいると全てのxにおいてt=-sが成り立つかのように見えてしまう」 ということです。 ものすごく初歩的なことを訊いているような、数学の大前提を理解していないような気がして怖いのですが・・・気になっています。 よろしくお願いします。

  • 整式の除法に関する問題です。

    整式の除法に関する問題です。 「ax^n+bx^(n-1)+1が(x-1)^2で割り切れるとき、a、bをnで表せ」という問題です。 私は  ax^n+bx^(n-1)+1=f(x)(x-1)^2と表せることから、両辺のxに1を代入して、  a+b+1=0 を得ましたが、これで良いのでしょうか? a、bをnで表せていません。どなたかアドバイスの程宜しくお願い致します。

  • 数学の矛盾

    次の等式がxについての恒等式であるとき、定数a,b,cの値を求めよ。 ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21 この問題を代入法で解くとする。その場合、逆の確認もしくは(次数+1)個 の値を代入しなければならないらしい。 私の先生は、3個代入したにもかかわらず、逆の確認が必要と言っていた。 なぜなら、他のxの値でそれらが導けるか不明確だかららしい。 だが、x+1個の値を代入すれば問題ないなら、この場合だって他のxの値でそれらが導けるのが不明確なのはないか??・・・・(1) そして、先生は次の定理を利用しているから、次数+1個で確認不要と言っていた。 定理、一般にP、Qがxについてn次以下の多項式であるとき、等式P=Qがn+1個の異なるxの値に対して成り立つならば、この等式はxについて恒等式である。 こいつを利用したから確認不要の意味がわからない。 今回は、恒等式であるときと書いてあるんだから、こんな定理は意味がないように思える。 どういう点で利用しているのか教えてほしい。・・・(2) (1)、(2)を教えてほしいです。

  • 恒等式における数値代入法について

    高校数学IIの教科書には、 「f(x)、g(x)がxのn次以下の多項式であるとき、 等式f(x)=g(x)がn+1個の異なるxの値に対して成り立つならば、 この等式はxについての恒等式であることが知られている」 と書いてあります。 これについての証明は教科書に書いてありませんが、事実として は教科書に明記されているのでこのことを使っても構いません。 つまり、「f(x)、g(x)がxのn次以下の多項式であるとき、 数値代入法で、n+1個のxの値を代入して答えが出たときは 十分性の確認は不要」であり、 「f(x)、g(x)がxのn次の多項式であるとき、 数値代入法で、n個以下のxの値を代入して答えが出たときは 十分性の確認は必要」と言うことです。 では、f(x,y,z…)、g(x,y,z…)がx、y、z…のn次以下の多項式である とき、等式f(x,y,z…)=g(x,y,z…)が一体何個の異なるx、y、z…の値 に対して成り立つならば、この等式はx、y、z…についての恒等式 であることが知られているのでしょうか? たとえば、「2x^2+axy-3y^2+x+4y-1=(2x+y+b)(x-3y+c) がx,yの恒等式になるように,定数a,b,cの値を定めよ.」 という問題の場合、数値代入法で解くと、 2x^2+axy-3y^2+x+4y-1=(2x+y+b)(x-3y+c)………(1)とする.  (1)にx=0,y=0を代入すると,-1=bc………(2)  (1)にx=0,y=1を代入すると,0=(1+b)(-3+c)………(3)  (1)にx=1,y=1を代入すると,a+3=(3+b)(-2+c)………(4)  (3)から,b=-1またはc=3 i).b=-1のとき,(2)から,c=1   (4)に代入すると,a+3=-2   ∴a=-5   このとき,(1)は    2x^2+5xy-3y^2+x+4y-1=(2x+y-1)(x-3y+1) となり, 常に成立する. ii).c=3のとき,(2)から,b=-1/3   (4)に代入すると,a+3=3-(1/3)   ∴a=-1/3   このとき,(1)は    2x^2-xy/3-3y^2+x+4y-1=(2x+y-1/3)(x-3y+3)   =2x^2-5xy-3y^2+17x/3+4y-1  となり,これはx,yの恒等式ではない. i).,ii).から,答はa=-5,b=-1,c=1である. となります。この場合、f(x,y)、g(x,y)はx、yの「2」次の多項式 ですが、「2+1」個のx,yを代入しても十分性の確認は 必要でした。

  • ax+b=0につき

    以下の「三文字a,x,bからなる等式ax+b=0についてのstatement」に関して誤った点をご教示下さいませ。 【質問】 「a,x,bの三文字の数からなる等式(A)ax+b=0をxについて解きなさい。」(について解く際に) 【私が陥った難点……本来はこの問題を解く際には踏み込まなくてよかった】 上式を解く際には「除算a/bについてはb=0の場合は定義されないという点につき『定義』は『証 明』されなければ必ずしも正しいといえず『定理』」となりえない。故に数が「0」が割れないと いう「定義」は証明されて初めて「定理」となりうる(高等学校数学課程の範囲内でおさまるか きわめて微妙な問題)。 i)  a=0の場合  a=0を等式(A)に代入して、xの値にかかわらずb=0を得る。  即ち、a=b=0の場合にはxの値にかかわらず、等式(A)は成立する。  この場合は、等式(A)は、xの値にかかわらずに成立するので、xに関しての「恒等式」となる。 ii) a≠0の場合 α) b=0の場合   b=0を等式(A)に代入して、ax=0 ここでa≠0だから上式の両辺をaで割ってx=0を得る。 β)b≠0の場合   ax+b=0の両辺よりbを引き   ax=-b更にa≠0なので、両辺をaで割って   x=-b/aを得る。   この場合をxに関しての「(一次)方程式」となる。

  • 恒等式の数値代入法

    『 例題 次の等式がxについての恒等式であるとき,定数a,b,cの値を求めよ。 ax(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)=6x^2+7x+21 この等式が恒等式ならば,x=-1,0,3を代入しても成り立つ。   x=-1を代入すると4b=20   x=0を代入すると3c=21   x=3を代入すると12a=96 したがってb=5,c=7,a=8 この時(左辺)=8x(x+1)+5x(x-3)-7(x-3)(x+1)        =8x(x^2+x)+5(x^2-3x)-7(x^2-2x-3)        =6x^2+7x+21 ゆえに与式は恒等式である よってa=8,b=5,c=7 』 参考書にこう書いてありました。 どういう解釈をすればいいのかわかりません。 「x=-1,0,3を代入しても成り立つ」というところの「,」記号はどういう意味ですか? 「x=-1が成り立つ、かつ、x=0が成り立つ、かつ、x=3が成り立つ」という意味ですか? だとしたら、「-1=0=3となって矛盾する。よって与式は恒等式ではない」ってことにはならないんですか? 「x=-1が成り立つ、または、x=0が成り立つ、または、x=3が成り立つ」だとしても、 8x(x+1)+5x(x-3)-7(x-3)(x+1)という式は作れないような…。 8x(x+1)+bx(x-3)-c(x-3)(x+1)またはax(x+1)+5x(x-3)-c(x-3)(x+1)またはax(x+1)+bx(x-3)-7(x-3)(x+1)が成り立つ。 ってことになるような気がするのですが…。

  • 中学校で習う文章問題について質問が3問あります。

    問1 2つの異なる正の整数A、Bがある。Aを3で割ると、商がmで余りが2でBを3で割ると、商がnで余りが2である。 このときA+Bを3で割った時の商と余りを求めなさい。 「Aを3で割ると、商がmで余りが2は」 A÷3=mあまり2 A=にすると A=3m+2 「Bを3で割ると、商がnで余りが2は」 B÷3=nあまり2 B=にすると B=3n+2 A+B=(3m+2)+(3n+2)÷3 =(3m+3n+4)÷3 =(m+n+1)余り1 ここで質問なのですが、 最後に「割る3」をするのですが、その際答えを 3でくくって=3(m+n+1)余り1にするの は間違えでしょうか? (多分間違えだと思うのですが・・・) 問2 5で割ると3余る整数をa、5で割ると4余る整数をbとする時、積abを5で割ったときの余りを求めなさい。 この問題は商が分からないのでX、Yとおきました。 a÷5=X…3 a=5X+3 b÷5=Y…4 b=5Y+4 積ab=(5X+3)(5Y+4) =(25XY+20X+15Y+12)÷5 =(5XY+4X+3Y+2)余り2 今回は余りを求めよという問題なので答え2 で良いと思うのですが合っていますでしょうか? 問3 長くなりすみません。 よく中学数学で()を外すときは符号に注意とか、-がつくと気をつけるようにと耳にたこが出来るように聞かされてきたのですが、反対に()をつけた場合はどうなるのでしょうか? 例えば、 4-a^2-2ab-b^2を因数分解すると 4-(a^2+2ab+b^2) のように括弧内の符号が反対(この場合は+へ)になるのでしょうか? 夜遅い時間で恐縮ですが、回答お願いいたします。     

  • 剰余の定理を使った問題について

    数学の剰余の定理の質問です。 よろしくお願いします。 「ある整式Aをx-5で割ると、商がx-4で余りはRになる。また、Aをx+3で割ると、商がQで余りは25になる。このとき余りR、商Q、お よび整式Aを求めよ」 という問題です。 別の質問サイトで、P(-3)=25をRの入っている式に代入するやり方を教えて頂いたのですが、答えと一致しませんでした・・・。 ちなみに、答えは「R:43、Q:x-6、A:x2-9x+43」です。 よろしくお願いします。